2) Montrer que le groupe des inversibles de Z/2
n
Z n’est pas cyclique.
Indication : montrer que pour x impair et n 3, on a x
2
n−2 ≡ 1 (mod 2
n−1 ).
1) Il s’agit des classes des éléments premiers avec 2
n , donc des classes des éléments
impairs compris entre 1 et 2
n , ce qui fait 2
n−1 éléments.
2) Soit x impair. Démontrons par récurrence sur n que x
2
n−2 ≡ 1 (mod 2
n−1 ) pour
n 3.
Si n = 3, les carrés dans Z/4Z sont 0, 1, donc tout nombre impair au carré est
congru à 1 modulo 4.
Supposons que x
2
n−2 ≡ 1 (mod 2
n−1 ), c’est-à-dire x
2
n−2
= 1+a2
n−1 , avec a ∈ Z.
En élevant au carré, on obtient alors :
x
2
n−1
= (x
2
n−2
)
2 = 1 + a2
n + a
2 2
2n−2 = 1 + 2
n (a + a
2 2
n−2 ) ≡ 1 (mod 2
n ).
Ceci termine la preuve par récurrence. Par suite, l’ordre de tout élément de
U (Z/2
n
Z) divise 2
n−2 , or U (Z/2
n
Z) comporte 2
n−1 éléments donc ne peut être
cyclique.
Remarque
On peut démontrer que U (Z/2
n
Z) est isomorphe au groupe additif
Z/2
n−2
Z × Z/2Z.
Exercice 1.40
TPE MP 2006
Soit p un nombre premier 3.
1) On considère l’équation (E) sur Z/ pZ : x
2 + ax + b = 0.
Montrer que (E) possède des racines si et seulement si a
2
− 4b est un carré
dans Z/ pZ.
2) On suppose que p est de la forme 3u + 1. Montrer qu’il existe a ∈ (Z/ pZ)
∗
tel que a
u
= 1. En déduire que −3 est un carré dans Z/ pZ.
1) En mettant sous forme canonique (on remarque que l’inverse de −2 est
p − 1
2
), (E) s’écrit : (x − a
p − 1
2
)
2 = a
2 (
p − 1
2
) 2 − b, autrement dit
(x − a
p − 1
2
)
2 = 4
−1 (a
2
− 4b). Comme 4
−1 est le carré de 2
−1 , (E) admet
des racines si et seulement si a
2
− 4b est un carré dans Z/ pZ.
2) Comme p est premier, Z/ pZ est un corps, donc le polynôme X
u
−1 admet au plus
u racines dans ce corps, or card(Z/ pZ)
∗ = p −1 > u, donc il existe a ∈ (Z/ pZ)
∗
qui n’est pas racine, c’est-à-dire que a
u
= 1.