On a X
3
− 1 = (X
2 + X + 1)(X − 1). Appliquons la question 1) avec a = b = 1.
Si −3 n’est pas un carré, X
3
− 1 et X − 1 ont les mêmes racines dans Z/ pZ. On
obtient une contradiction car a
u est racine du premier (car a
3u = a
p−1 = 1 par
petit théorème de Fermat) mais a
u
= 1.
Exercice 1.41
Centrale MP 2005
Soit n un entier > 1. On écrit le rationnel
n
i=1
1
i
sous forme irréductible
a
b
.
Montrer que a est impair et b pair.
Notons 2
p la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à n ( p 1 car n > 1).
On a alors 2
p+1 > n, donc les entiers de 1 à n distincts de 2
p sont divisibles par une
puissance de 2 inférieure strictement à 2
p . En réduisant au même dénominateur, on
en déduit que
1in, i =2 p
1
i
s’écrit sous la forme
u
2
q
v
, avec u et v impairs et q < p,
donc
n
i=1
1
i
=
1
2
p +
u
2
q
v
=
v + u2
p−q
2
p
v
. Comme p−q > 0, v+u2
p−q est impair et 2
p
v
est pair, donc la fraction réduite a son numérateur impair et son dénominateur pair.
1.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 1.42
Mines-Ponts MP 2005
Déterminer, à isomorphisme près, les groupes d’ordre 6.
On discute suivant les ordres des éléments de G \ {e}, qui sont des diviseurs de 6
autres que 1, c’est-à-dire 2, 3 ou 6.
• S’il y a un élément d’ordre 6, alors G est cyclique, c’est-à-dire isomorphe au
groupe additif Z/6Z.
• Si tout élément est d’ordre 2, on reprend le raisonnement de l’exercice 1.28
page 16 : G est abélien, puis on considère a = e dans G, puis b /
∈ {e, a} dans G.
L’ensemble {e, a, b, ab} est un sous-groupe de G d’ordre 4, ce qui apporte une
contradiction car 4 ne divise pas 6.
• Sinon, il existe un élément a d’ordre 3. Soit b ∈ G \ {e, a, a
2
}. Les éléments
b, ab, a
2 b de G sont deux à deux distincts, et distincts de e, a, a
2 (vérification un
peu longue mais facile ; par exemple, si a
2 b = a, alors en multipliant à gauche
par a, b = a
2 ce qui est faux), donc G = {e, a, a
2 , b, ab, a
2 b}. En procédant par
élimination, on constate de même que b
2
∈ {e, a, a
2
} et ba ∈ {ab, a
2 b}.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3
− 1 = (X
2 + X + 1)(X − 1). Appliquons la question 1) avec a = b = 1.
Si −3 n’est pas un carré, X
3
− 1 et X − 1 ont les mêmes racines dans Z/ pZ. On
obtient une contradiction car a
u est racine du premier (car a
3u = a
p−1 = 1 par
petit théorème de Fermat) mais a
u
= 1.
Exercice 1.41
Centrale MP 2005
Soit n un entier > 1. On écrit le rationnel
n
i=1
1
i
sous forme irréductible
a
b
.
Montrer que a est impair et b pair.
Notons 2
p la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à n ( p 1 car n > 1).
On a alors 2
p+1 > n, donc les entiers de 1 à n distincts de 2
p sont divisibles par une
puissance de 2 inférieure strictement à 2
p . En réduisant au même dénominateur, on
en déduit que
1in, i =2 p
1
i
s’écrit sous la forme
u
2
q
v
, avec u et v impairs et q < p,
donc
n
i=1
1
i
=
1
2
p +
u
2
q
v
=
v + u2
p−q
2
p
v
. Comme p−q > 0, v+u2
p−q est impair et 2
p
v
est pair, donc la fraction réduite a son numérateur impair et son dénominateur pair.
1.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 1.42
Mines-Ponts MP 2005
Déterminer, à isomorphisme près, les groupes d’ordre 6.
On discute suivant les ordres des éléments de G \ {e}, qui sont des diviseurs de 6
autres que 1, c’est-à-dire 2, 3 ou 6.
• S’il y a un élément d’ordre 6, alors G est cyclique, c’est-à-dire isomorphe au
groupe additif Z/6Z.
• Si tout élément est d’ordre 2, on reprend le raisonnement de l’exercice 1.28
page 16 : G est abélien, puis on considère a = e dans G, puis b /
∈ {e, a} dans G.
L’ensemble {e, a, b, ab} est un sous-groupe de G d’ordre 4, ce qui apporte une
contradiction car 4 ne divise pas 6.
• Sinon, il existe un élément a d’ordre 3. Soit b ∈ G \ {e, a, a
2
}. Les éléments
b, ab, a
2 b de G sont deux à deux distincts, et distincts de e, a, a
2 (vérification un
peu longue mais facile ; par exemple, si a
2 b = a, alors en multipliant à gauche
par a, b = a
2 ce qui est faux), donc G = {e, a, a
2 , b, ab, a
2 b}. En procédant par
élimination, on constate de même que b
2
∈ {e, a, a
2
} et ba ∈ {ab, a
2 b}.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit