1.2 Exercices d’entraînement
L’entier N = 4 p 1 · · · p n − 1 est congru à −1 modulo 4. Les diviseurs premiers de
N sont donc impairs et ne peuvent être tous congrus à 1 modulo 4 (car sinon leur
produit N serait lui aussi congru à 1).
On en déduit que N admet au moins un diviseur premier qui est congru à −1 modulo
4, donc il existe i tel que p i divise N . Or p i divise 4 p 1 . . . p n , donc p i divise leur
différence qui est égale à 1, ce qui est absurde.
Exercice 1.38
Mines-Ponts MP 2005
Résoudre dans Z/143Z : x
2
− 4x + 3 = 0.
Sous forme canonique, l’équation s’écrit (x − 2)
2 = 1, c’est-à-dire (y − 1)(y + 1) = 0
avec y = x − 2. Comme 143 n’est pas premier (143 = 11 × 13), Z/143Z n’est pas
un corps, donc on ne peut pas en déduire a priori que y = 1 ou y = −1. On peut
envisager deux méthodes :
• Une recherche systématique à l’aide d’un programme informatique. Avec le logiciel Maple, cela donne :
sol:=[]:
for y from 1 to 142 do
if (y^2=1) mod 143 then sol:=[op(sol),y] fi od; sol;
On obtient comme résultat la liste [1, 12, 131, 142].
• Résoudre dans Z l’équation y
2
− 1 ≡ 0 (mod 143). Comme 143 = 11 × 13, on
obtient les quatre possibilités suivantes :
◦ y − 1 ≡ 0 (mod 143)
◦ y + 1 ≡ 0 (mod 143)
◦ y − 1 ≡ 0 (mod 11) et y + 1 ≡ 0 (mod 13)
◦ y + 1 ≡ 0 (mod 11) et y − 1 ≡ 0 (mod 13).
Le 3
ème système est un problème chinois. Il s’écrit y = 1 + 11 j = −1 + 13k avec
( j, k) ∈ Z
2 , soit 13k − 11 j = 2, soit 13(k − 1) = 11( j − 1) soit k = 1 + 11m avec
m ∈ Z, ce qui donne y = 12 + 143m, c’est-à-dire y ≡ 12 (mod 143).
Le 4
ème système revient à changer y en son opposé, d’où y ≡ −12 (mod 143).
Finalement, il y a quatre éléments de Z/143Z de carré 1, en l’occurrence
1, −1, 12, −12, donc l’équation proposée admet quatre solutions : 3, 1, 14, −10.
Modulo 143, on retrouve les solutions obtenues avec le logiciel Maple.
Exercice 1.39
Centrale MP 2005
Soit n un entier 3.
1) Dénombrer les éléments inversibles de l’anneau Z/2
n
Z.
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