Chap. 1. Algèbre générale
et b premiers avec p. Mais alors
b
a
∈ Z p , et I est un idéal, donc p
a =
b
a
x ∈ I , et
comme I est un idéal, p
a Z p ⊂ I . Finalement, on a bien I = p
a Z p .
Exercice 1.36
Centrale MP 2005 et 2007, Théorème de Wilson
1) Si p est premier, montrer que ( p − 1)! ≡ −1 (mod p).
2) Calculer, pour n ∈ N
∗ , le reste de la division de (n − 1)! par n.
1) On calcule le produit des éléments du groupe multiplicatif (Z/ pZ)
∗ de
deux manières différentes. En écrivant les éléments sous la forme k, pour
k ∈ [[1 , p − 1]], on obtient ( p − 1)!. En groupant chaque élément non nul
avec son inverse, il ne reste dans le produit que les éléments qui sont leur propre
inverse, c’est-à-dire 1 et −1. On en déduit que ( p − 1)! = −1, donc ( p−1)! ≡ −1
(mod p).
2) Si p est premier, alors ( p − 1)! ≡ −1 ≡ p − 1 (mod p) donc le reste est p − 1.
Supposons n non premier ; il existe ( p, q) ∈ [[2 , n − 1]]
2 tel que n = pq. On
distingue deux cas :
• Si p = q alors p et q figurent dans le produit (n −1)! donc le reste de la division
de (n − 1)! par n est 0.
• Si on ne peut pas trouver de couple ( p, q) avec p = q tel que n = pq, alors n
s’écrit sous la forme p
2 avec p premier. Le cas p = 2 est immédiat, on a 6 ≡ 2
(mod 4). Si p 3, alors p et 2 p appartiennent à [[1 , n − 1]] et sont distincts
donc à nouveau, le reste de la division de (n − 1)! par n est 0.
Récapitulons : (n − 1)! ≡
⎧
⎨
⎩
n − 1 (mod n) si n est premier
2
(modn) si n = 4
0
(modn) sinon
.
Exercice 1.37
TPE MP 2006
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1, avec
n ∈ N
∗ .
Indication : S’inspirer fortement de la démonstration du cours sur le nombre
infini de nombres premiers !
Tout d’abord, 3 = 4 × 1 − 1, donc l’ensemble de ces nombres n’est pas vide. Supposons qu’il n’en existe qu’un nombre fini, que l’on notera p 1 < p 2 < . . . p n .
et b premiers avec p. Mais alors
b
a
∈ Z p , et I est un idéal, donc p
a =
b
a
x ∈ I , et
comme I est un idéal, p
a Z p ⊂ I . Finalement, on a bien I = p
a Z p .
Exercice 1.36
Centrale MP 2005 et 2007, Théorème de Wilson
1) Si p est premier, montrer que ( p − 1)! ≡ −1 (mod p).
2) Calculer, pour n ∈ N
∗ , le reste de la division de (n − 1)! par n.
1) On calcule le produit des éléments du groupe multiplicatif (Z/ pZ)
∗ de
deux manières différentes. En écrivant les éléments sous la forme k, pour
k ∈ [[1 , p − 1]], on obtient ( p − 1)!. En groupant chaque élément non nul
avec son inverse, il ne reste dans le produit que les éléments qui sont leur propre
inverse, c’est-à-dire 1 et −1. On en déduit que ( p − 1)! = −1, donc ( p−1)! ≡ −1
(mod p).
2) Si p est premier, alors ( p − 1)! ≡ −1 ≡ p − 1 (mod p) donc le reste est p − 1.
Supposons n non premier ; il existe ( p, q) ∈ [[2 , n − 1]]
2 tel que n = pq. On
distingue deux cas :
• Si p = q alors p et q figurent dans le produit (n −1)! donc le reste de la division
de (n − 1)! par n est 0.
• Si on ne peut pas trouver de couple ( p, q) avec p = q tel que n = pq, alors n
s’écrit sous la forme p
2 avec p premier. Le cas p = 2 est immédiat, on a 6 ≡ 2
(mod 4). Si p 3, alors p et 2 p appartiennent à [[1 , n − 1]] et sont distincts
donc à nouveau, le reste de la division de (n − 1)! par n est 0.
Récapitulons : (n − 1)! ≡
⎧
⎨
⎩
n − 1 (mod n) si n est premier
2
(modn) si n = 4
0
(modn) sinon
.
Exercice 1.37
TPE MP 2006
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1, avec
n ∈ N
∗ .
Indication : S’inspirer fortement de la démonstration du cours sur le nombre
infini de nombres premiers !
Tout d’abord, 3 = 4 × 1 − 1, donc l’ensemble de ces nombres n’est pas vide. Supposons qu’il n’en existe qu’un nombre fini, que l’on notera p 1 < p 2 < . . . p n .