Soient x ∈ M et a ∈ A, tous deux non nuls. Comme A est un anneau, ax ∈ A,
et (ax)
−1 = a
−1 x
−1 . Si (ax)
−1
∈ A, comme a ∈ A et que A est un anneau, leur
produit qui est égal à x
−1 appartient à A, ce qui est faux, donc ax ∈ M. Ceci
achève de prouver que M est un idéal de A.
2) Soit I un idéal de A distinct de A. Supposons qu’il existe un élément a ∈ I \ M.
Comme a ∈ I ⊂ A et a
−1 /
∈ M, on en déduit que a
−1
∈ A. Soit x un élément
quelconque de A, on a x = xa
−1
∈A
. a
∈I
∈ I car I est un idéal. Par conséquent,
A = I , ce qui est absurde. Il en résulte que I \ M = ∅, donc I ⊂ M.
Exercice 1.35
Mines-Ponts MP 2006, Centrale MP 2007
Soit p un nombre premier.
On pose Z p =
a
b
| a ∈ Z, b ∈ N
∗ , p ne divise pas b
,
et J p =
a
b
| a ∈ Z, b ∈ N
∗ , p divise a et ne divise pas b
.
1) Montrer que Z p est un sous-anneau de Q.
2) Montrer que J p est un idéal de Z p , et que tout idéal de Z p autre que Z p est
inclus dans J p .
3) Déterminer les idéaux de Z p .
1) On a 0 ∈ Z p . Soient x =
a
b
et y =
c
d
deux éléments de Z p . On a x −y =
ad − bc
bd
et x y =
ac
bd
. Comme p est premier et qu’il ne divise ni b ni d, il ne divise pas bd,
donc x − y et x y appartiennent à Z p . On en déduit que Z p est un sous-anneau de
Q.
2) Tout élément x non nul de Q vérifie x ∈ Z p ou x
−1
∈ Z p , car lorsqu’on écrit x
sous forme irréductible, le numérateur ou le dénominateur n’est pas multiple de p.
Par ailleurs, les éléments inversibles de Z p sont les rationnels dont le numérateur
et le dénominateur ne sont pas divisibles par p, c’est-à-dire les éléments de Z p \ J p .
D’après l’exercice 1.34 page 20, J p est un idéal de Z p , et tout idéal strict de Z p
est inclus dans J p . Il n’est pas difficile de redémontrer directement tout cela.
3) On remarque que J p = pZ p . On se propose de démontrer que les idéaux non nuls
de Z p sont les ensembles p
a Z p , où a ∈ N.
Soit I un idéal non nul de Z p . On note a le plus grand entier naturel tel que p
a
divise les numérateurs de tous les éléments de I (écrits sous forme irréductible).
Tout élément de I s’écrit donc sous la forme p
a u
v
, avec
u
v
∈ Z p , donc I ⊂ p
a Z p .
De plus, par maximalité de a, il existe un élément x de I s’écrivant p
a a
b
, avec a
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
et (ax)
−1 = a
−1 x
−1 . Si (ax)
−1
∈ A, comme a ∈ A et que A est un anneau, leur
produit qui est égal à x
−1 appartient à A, ce qui est faux, donc ax ∈ M. Ceci
achève de prouver que M est un idéal de A.
2) Soit I un idéal de A distinct de A. Supposons qu’il existe un élément a ∈ I \ M.
Comme a ∈ I ⊂ A et a
−1 /
∈ M, on en déduit que a
−1
∈ A. Soit x un élément
quelconque de A, on a x = xa
−1
∈A
. a
∈I
∈ I car I est un idéal. Par conséquent,
A = I , ce qui est absurde. Il en résulte que I \ M = ∅, donc I ⊂ M.
Exercice 1.35
Mines-Ponts MP 2006, Centrale MP 2007
Soit p un nombre premier.
On pose Z p =
a
b
| a ∈ Z, b ∈ N
∗ , p ne divise pas b
,
et J p =
a
b
| a ∈ Z, b ∈ N
∗ , p divise a et ne divise pas b
.
1) Montrer que Z p est un sous-anneau de Q.
2) Montrer que J p est un idéal de Z p , et que tout idéal de Z p autre que Z p est
inclus dans J p .
3) Déterminer les idéaux de Z p .
1) On a 0 ∈ Z p . Soient x =
a
b
et y =
c
d
deux éléments de Z p . On a x −y =
ad − bc
bd
et x y =
ac
bd
. Comme p est premier et qu’il ne divise ni b ni d, il ne divise pas bd,
donc x − y et x y appartiennent à Z p . On en déduit que Z p est un sous-anneau de
Q.
2) Tout élément x non nul de Q vérifie x ∈ Z p ou x
−1
∈ Z p , car lorsqu’on écrit x
sous forme irréductible, le numérateur ou le dénominateur n’est pas multiple de p.
Par ailleurs, les éléments inversibles de Z p sont les rationnels dont le numérateur
et le dénominateur ne sont pas divisibles par p, c’est-à-dire les éléments de Z p \ J p .
D’après l’exercice 1.34 page 20, J p est un idéal de Z p , et tout idéal strict de Z p
est inclus dans J p . Il n’est pas difficile de redémontrer directement tout cela.
3) On remarque que J p = pZ p . On se propose de démontrer que les idéaux non nuls
de Z p sont les ensembles p
a Z p , où a ∈ N.
Soit I un idéal non nul de Z p . On note a le plus grand entier naturel tel que p
a
divise les numérateurs de tous les éléments de I (écrits sous forme irréductible).
Tout élément de I s’écrit donc sous la forme p
a u
v
, avec
u
v
∈ Z p , donc I ⊂ p
a Z p .
De plus, par maximalité de a, il existe un élément x de I s’écrivant p
a a
b
, avec a
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit