Exercice 1.33
Centrale MP 2005
Soit V n = {s ∈ S n | ∀k ∈ [[1 , n]], s(n + 1 − k) = n + 1 − s(k)}.
1) Montrer que V n est un sous-groupe de S n .
2) Trouver le cardinal de V n .
1) On voit que Id ∈ V n . Soient s et s
∈ V n . On a, pour tout k ∈ [[1 , n]] :
s(s
(n + 1 − k)) = s(n + 1 − s
(k)) = n + 1 − s(s
(k))
On en déduit que s ◦ s
∈ V n . On a s(n + 1 − s
−1 (k)) = n + 1 − k, donc
n + 1 − s
−1 (k) = s
−1 (n + 1 − k), d’où s
−1
∈ V n . Ceci prouve que V n est un
sous-groupe de S n .
2) Il y a n choix possibles pour s(1), à la suite de quoi s(n) est imposé. Il reste n − 2
choix possibles pour s(2), à la suite de quoi s(n − 1) est imposé. On poursuit
ainsi le comptage.
• Lorsque n est pair, on obtient finalement n(n − 2)(n − 4) · · · 2 éléments, soit
n/2
k=1
(2k) = 2
n
2 (
n
2
)!
• Lorsque n est impair, on obtient
n−1
2
k=0
(2k + 1) =
n!
2.4 . . . (n − 1)
=
n!
2
n−1
2 (
n−1
2 )!
.
Exercice 1.34
Centrale MP 2007
Soient K un corps, A un sous-anneau de K tel que ∀x ∈ K
∗ , x ∈ A ou x
−1
∈ A.
Soit M l’ensemble des éléments non inversibles de A, c’est-à-dire
M = {x ∈ A non nul | x
−1 /
∈ A} ∪ {0}.
1) Montrer que M est un idéal de A.
2) Montrer que tout idéal de A distinct de A est contenu dans M.
1) On remarque déjà que 0 ∈ M.
Soient x et y deux éléments non nuls de M. Alors x et y sont dans A, donc
x + y ∈ A, mais x
−1 et y
−1 ne sont pas dans A. Supposons que x + y /
∈ M.
Alors x + y est non nul et son inverse noté z appartient à A. Les éléments
x
−1 y et y
−1 x sont inverses l’un de l’autre, donc l’un des deux appartient à A.
Supposons par exemple que ce soit x
−1 y (la situation est symétrique). On écrit
1 = (x + y)z = xz + yz et on multiplie par x
−1 , ce qui donne x
−1 = z + x
−1 yz.
Or A contient z et x
−1 y et est un anneau, donc x
−1 yz ∈ A, or z ∈ A, donc en les
ajoutant, on obtient que x
−1
∈ A, ce qui est absurde. On en déduit que x + y ∈ M.