2) Rechercher dans S n le commutant d’un cycle de longueur n, puis de la composée de deux cycles à supports disjoints de longueurs respectives p et n − p.
(on caractérisera ses éléments, puis on trouvera son cardinal)
1) Si c est le cycle (i 1 , i 2 , . . . , i p ), on va montrer que s ◦ c ◦ s
−1 est le cycle
(s(i 1 ) s(i 2 ) . . . s(i p )).
En effet, chaque élément s(i k ) a pour image s(i k+1 ) et si j n’est pas de la
forme s(i k ), alors s
−1 ( j) n’est pas de la forme i k donc est invariant par c, et
(s ◦ c ◦ s
−1 )( j) = s(s
−1 ( j)) = j.
2) • Soit s commutant avec le cycle c = (i 1 , i 2 , . . . , i n ). Alors s ◦ c ◦ s
−1 = c, et
d’après ce qui précède, il existe k ∈ [[1 , n]] tel que s(i 1 ) = i k et les p−uplets
(s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) et (i k , i k+1 , . . . , i k−1 ) sont égaux, ce qui prouve que
s = c
k−1 . Réciproquement, pour k ∈ [[0 , n − 1]], la permutation s = c
k commute avec c, donc le commutant de c est le groupe engendré par c, c’est-à-dire
{c
k
| 0 k n − 1}.
• Posons q = n − p. Soient c le cycle (i 1 , i 2 , . . . , i p ) et c
le cycle ( j 1 , j 2 , . . . , j q ) ;
En écrivant s◦c◦c
◦s
−1 = (s◦c◦s
−1 )◦(s◦c
◦s
−1 ), on montre comme précédemment que s◦c◦c
◦s
−1 est la composée des cycles (s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p ))
et (s( j 1 ), s( j 2 ), . . . , s( j q )). On recherche les permutations s qui commutent
avec c ◦ c
en distinguant deux cas.
◦ 1
er cas : p = q. Dans ce cas, s commute avec c ◦ c
si et seulement
si on a l’égalité des cycles (s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) = (i 1 , i 2 , . . . , i p ) et
(s( j 1 ), s( j 2 ), . . . , s( j q )) = ( j 1 , j 2 , . . . , j q ) par unicité de la décomposition
en cycles disjoints, donc il existe k ∈ [[0 , p − 1]] tel que s(i 1 ) = i k+1 et il
existe l ∈ [[0 , q − 1]] tel que s( j 1 ) = j l+1 , d’où s = c
k
◦ c
l . Le commutant
de c ◦ c
est le groupe engendré par {c, c
}, qui est abélien d’ordre pq.
◦ 2
ème cas : p = q. Dans ce cas, on a deux possibilités :
(s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) = (i 1 , i 2 , . . . , i p )
et
(s( j 1 ), s( j 2 ), . . . , s( j p )) = ( j 1 , j 2 , . . . , j p )
ou
(s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) = ( j 1 , j 2 , . . . , j p )
et
(s( j 1 ), s( j 2 ), . . . , s( j p )) = (i 1 , i 2 , . . . , i p )
Le commutant de c ◦ c
est donc égal à
{c
k c
l , c
k c
l f | 0 k p − 1, 0 l p − 1},
où f est la permutation (i 1 , j 1 ) (i 2 , j 2 ) . . . (i p , j p ). Il est d’ordre 2 p
2 =
n
2
2
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
(on caractérisera ses éléments, puis on trouvera son cardinal)
1) Si c est le cycle (i 1 , i 2 , . . . , i p ), on va montrer que s ◦ c ◦ s
−1 est le cycle
(s(i 1 ) s(i 2 ) . . . s(i p )).
En effet, chaque élément s(i k ) a pour image s(i k+1 ) et si j n’est pas de la
forme s(i k ), alors s
−1 ( j) n’est pas de la forme i k donc est invariant par c, et
(s ◦ c ◦ s
−1 )( j) = s(s
−1 ( j)) = j.
2) • Soit s commutant avec le cycle c = (i 1 , i 2 , . . . , i n ). Alors s ◦ c ◦ s
−1 = c, et
d’après ce qui précède, il existe k ∈ [[1 , n]] tel que s(i 1 ) = i k et les p−uplets
(s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) et (i k , i k+1 , . . . , i k−1 ) sont égaux, ce qui prouve que
s = c
k−1 . Réciproquement, pour k ∈ [[0 , n − 1]], la permutation s = c
k commute avec c, donc le commutant de c est le groupe engendré par c, c’est-à-dire
{c
k
| 0 k n − 1}.
• Posons q = n − p. Soient c le cycle (i 1 , i 2 , . . . , i p ) et c
le cycle ( j 1 , j 2 , . . . , j q ) ;
En écrivant s◦c◦c
◦s
−1 = (s◦c◦s
−1 )◦(s◦c
◦s
−1 ), on montre comme précédemment que s◦c◦c
◦s
−1 est la composée des cycles (s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p ))
et (s( j 1 ), s( j 2 ), . . . , s( j q )). On recherche les permutations s qui commutent
avec c ◦ c
en distinguant deux cas.
◦ 1
er cas : p = q. Dans ce cas, s commute avec c ◦ c
si et seulement
si on a l’égalité des cycles (s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) = (i 1 , i 2 , . . . , i p ) et
(s( j 1 ), s( j 2 ), . . . , s( j q )) = ( j 1 , j 2 , . . . , j q ) par unicité de la décomposition
en cycles disjoints, donc il existe k ∈ [[0 , p − 1]] tel que s(i 1 ) = i k+1 et il
existe l ∈ [[0 , q − 1]] tel que s( j 1 ) = j l+1 , d’où s = c
k
◦ c
l . Le commutant
de c ◦ c
est le groupe engendré par {c, c
}, qui est abélien d’ordre pq.
◦ 2
ème cas : p = q. Dans ce cas, on a deux possibilités :
(s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) = (i 1 , i 2 , . . . , i p )
et
(s( j 1 ), s( j 2 ), . . . , s( j p )) = ( j 1 , j 2 , . . . , j p )
ou
(s(i 1 ), s(i 2 ), . . . , s(i p )) = ( j 1 , j 2 , . . . , j p )
et
(s( j 1 ), s( j 2 ), . . . , s( j p )) = (i 1 , i 2 , . . . , i p )
Le commutant de c ◦ c
est donc égal à
{c
k c
l , c
k c
l f | 0 k p − 1, 0 l p − 1},
où f est la permutation (i 1 , j 1 ) (i 2 , j 2 ) . . . (i p , j p ). Il est d’ordre 2 p
2 =
n
2
2
.
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