Chap. 1. Algèbre générale
i − k, d’où i = k, et de même j = l. Le sous-groupe H est d’ordre p
2 , ce qui
est absurde car p
2 ne divise pas pq. Il en résulte que y est d’ordre q, donc x y est
d’ordre pq par la question 1), ce qui apporte la contradiction.
Exercice 1.31
Centrale MP 2006, p-groupes de Prüfer
Soit p un nombre premier. On pose G p = {z ∈ C | ∃k ∈ N, z
p
k
= 1}.
1) Montrer que G p est un sous-groupe multiplicatif de C
∗ .
2) Montrer que les sous-groupes propres de G p sont cycliques et qu’aucun d’eux
n’est maximal pour l’inclusion.
3) Montrer que G p n’est pas engendré par un nombre fini d’éléments.
1) Soient z et z
∈ G p ; il existe deux entiers j et k tels que z
p
j
= 1 et z
p
k
= 1,
d’où (zz
)
p
max( j,k)
= 1 et (z
−1 )
p
j
= 1 donc zz
et z
−1
∈ G p . Comme 1 ∈ G p , il en
résulte que G p est un sous-groupe de C
∗ .
2) On note U k le groupe multiplicatif des racines p
k ièmes de l’unité dans C. On rappelle que U k est cyclique et que z est un générateur de U k si et seulement si z
est de la forme e
2ipu/ p
k
avec u premier avec p, autrement dit si et seulement si
z ∈ U k \ U k−1 .
On a G p =
k∈N
U k , la suite d’ensembles (U k ) étant croissante pour l’inclusion.
Soit G un sous-groupe propre de G p . Si G contient un élément de U k \ U k−1 ,
alors G contient U k , donc tous les U j pour j k. Comme G n’est pas égal à G p ,
l’ensemble des entiers k tels que G contienne un élément de U k \ U k−1 est majoré,
donc possède un plus grand élément r . Cet élément engendre U r , donc G ⊃ U r .
Mais par définition de r , G ⊂ U r . Finalement, les sous-groupes propres de G p
sont les sous-groupes U k ; ils sont tous cycliques, emboités les uns dans les autres,
donc aucun n’est maximal.
3) Supposons que la famille (z 1 , . . . , z n ) engendre G p . Chaque élément z k est d’ordre
p
a k où a k est un entier naturel. En notant a = max
1kn
a k , on a z
p
a
k = 1 pour tout
k, or tout élément z de G p est un produit d’éléments de la forme z i , donc on a
également z
p
a
= 1, d’où G p ⊂ U a , ce qui est absurde.
Exercice 1.32
1) Calculer s ◦ c ◦ s
−1 lorsque c est un cycle et s une permutation de S n .
i − k, d’où i = k, et de même j = l. Le sous-groupe H est d’ordre p
2 , ce qui
est absurde car p
2 ne divise pas pq. Il en résulte que y est d’ordre q, donc x y est
d’ordre pq par la question 1), ce qui apporte la contradiction.
Exercice 1.31
Centrale MP 2006, p-groupes de Prüfer
Soit p un nombre premier. On pose G p = {z ∈ C | ∃k ∈ N, z
p
k
= 1}.
1) Montrer que G p est un sous-groupe multiplicatif de C
∗ .
2) Montrer que les sous-groupes propres de G p sont cycliques et qu’aucun d’eux
n’est maximal pour l’inclusion.
3) Montrer que G p n’est pas engendré par un nombre fini d’éléments.
1) Soient z et z
∈ G p ; il existe deux entiers j et k tels que z
p
j
= 1 et z
p
k
= 1,
d’où (zz
)
p
max( j,k)
= 1 et (z
−1 )
p
j
= 1 donc zz
et z
−1
∈ G p . Comme 1 ∈ G p , il en
résulte que G p est un sous-groupe de C
∗ .
2) On note U k le groupe multiplicatif des racines p
k ièmes de l’unité dans C. On rappelle que U k est cyclique et que z est un générateur de U k si et seulement si z
est de la forme e
2ipu/ p
k
avec u premier avec p, autrement dit si et seulement si
z ∈ U k \ U k−1 .
On a G p =
k∈N
U k , la suite d’ensembles (U k ) étant croissante pour l’inclusion.
Soit G un sous-groupe propre de G p . Si G contient un élément de U k \ U k−1 ,
alors G contient U k , donc tous les U j pour j k. Comme G n’est pas égal à G p ,
l’ensemble des entiers k tels que G contienne un élément de U k \ U k−1 est majoré,
donc possède un plus grand élément r . Cet élément engendre U r , donc G ⊃ U r .
Mais par définition de r , G ⊂ U r . Finalement, les sous-groupes propres de G p
sont les sous-groupes U k ; ils sont tous cycliques, emboités les uns dans les autres,
donc aucun n’est maximal.
3) Supposons que la famille (z 1 , . . . , z n ) engendre G p . Chaque élément z k est d’ordre
p
a k où a k est un entier naturel. En notant a = max
1kn
a k , on a z
p
a
k = 1 pour tout
k, or tout élément z de G p est un produit d’éléments de la forme z i , donc on a
également z
p
a
= 1, d’où G p ⊂ U a , ce qui est absurde.
Exercice 1.32
1) Calculer s ◦ c ◦ s
−1 lorsque c est un cycle et s une permutation de S n .