Complément : en étudiant l’application : (Z/2Z)
n
−→ G
( j 1 , . . . , j n ) −→ a
j 1
1 a
j 2
2 . . . a
j n
n
qui est un isomorphisme de groupes, on en déduit que G est isomorphe au groupe
additif ((Z/2Z)
n , +).
Exercice 1.29
Polytechnique MP 2006
Soit G un groupe fini d’ordre 2 p avec p premier. Existe-t-il dans G un élément
d’ordre p ?
• On suppose p = 2. Si G n’a pas d’élément d’ordre 2, alors soit a ∈ G \ {e}, a ne
peut être que d’ordre 4 (d’où G est cyclique), auquel cas a
2 est d’ordre 2, ce qui
apporte la contradiction.
On suppose désormais p 3.
• Supposons G cyclique, engendré par a. Dans ce cas, a
2 est d’ordre p.
• Sinon, les ordres des éléments de G \ {e} sont 2 ou p. S’ils sont tous d’ordre 2,
alors d’après l’exercice 1.28 page 16, l’ordre de G est une puissance de 2, ce qui
n’est pas le cas.
On en déduit que dans tous les cas, G admet un élément d’ordre p.
Exercice 1.30
Polytechnique MP 2006
Soit G un groupe abélien.
1) Soient x et y deux éléments de G d’ordres respectifs p et q premiers entre
eux. Montrer que x y est d’ordre pq.
2) On suppose G d’ordre pq, où p et q sont deux nombres premiers distincts.
Montrer que G possède un élément d’ordre pq (il est donc cyclique).
1) On suppose (x y)
k = e, c’est-à-dire x
k y
k = e. En élevant à la puissance p, on
obtient y
kp = e puisque x est d’ordre p, donc q divise kp, et par théorème de
Gauss, q divise k. De façon analogue, p divise k, or p et q sont premiers entre
eux, donc pq divise k. Comme on a évidemment (x y)
pq = e, on a bien prouvé
que x y est d’ordre pq.
2) On raisonne par l’absurde en supposant que G n’a aucun élément d’ordre pq.
Soit x un élément de G \ {e}. Il est d’ordre p ou q, disons p. Soit y ∈ G \ gr(x).
Supposons y d’ordre p. Soit
H = {x
i y
j
| 0 i, j p − 1}.
Comme G est abélien, H est le sous-groupe engendré par {x, y}. Si x
i y
j = x
k y
l ,
avec i, j, k, l compris entre 0 et p − 1, x
i−k = y
l− j . Cet élément est dans
gr(x) ∩ gr(y) qui est un sous-groupe strict de gr(x) donc son ordre divise strictement p qui est premier, donc gr(x) ∩ gr(y) = {e}, d’où x
i−k = e, et p divise
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
n
−→ G
( j 1 , . . . , j n ) −→ a
j 1
1 a
j 2
2 . . . a
j n
n
qui est un isomorphisme de groupes, on en déduit que G est isomorphe au groupe
additif ((Z/2Z)
n , +).
Exercice 1.29
Polytechnique MP 2006
Soit G un groupe fini d’ordre 2 p avec p premier. Existe-t-il dans G un élément
d’ordre p ?
• On suppose p = 2. Si G n’a pas d’élément d’ordre 2, alors soit a ∈ G \ {e}, a ne
peut être que d’ordre 4 (d’où G est cyclique), auquel cas a
2 est d’ordre 2, ce qui
apporte la contradiction.
On suppose désormais p 3.
• Supposons G cyclique, engendré par a. Dans ce cas, a
2 est d’ordre p.
• Sinon, les ordres des éléments de G \ {e} sont 2 ou p. S’ils sont tous d’ordre 2,
alors d’après l’exercice 1.28 page 16, l’ordre de G est une puissance de 2, ce qui
n’est pas le cas.
On en déduit que dans tous les cas, G admet un élément d’ordre p.
Exercice 1.30
Polytechnique MP 2006
Soit G un groupe abélien.
1) Soient x et y deux éléments de G d’ordres respectifs p et q premiers entre
eux. Montrer que x y est d’ordre pq.
2) On suppose G d’ordre pq, où p et q sont deux nombres premiers distincts.
Montrer que G possède un élément d’ordre pq (il est donc cyclique).
1) On suppose (x y)
k = e, c’est-à-dire x
k y
k = e. En élevant à la puissance p, on
obtient y
kp = e puisque x est d’ordre p, donc q divise kp, et par théorème de
Gauss, q divise k. De façon analogue, p divise k, or p et q sont premiers entre
eux, donc pq divise k. Comme on a évidemment (x y)
pq = e, on a bien prouvé
que x y est d’ordre pq.
2) On raisonne par l’absurde en supposant que G n’a aucun élément d’ordre pq.
Soit x un élément de G \ {e}. Il est d’ordre p ou q, disons p. Soit y ∈ G \ gr(x).
Supposons y d’ordre p. Soit
H = {x
i y
j
| 0 i, j p − 1}.
Comme G est abélien, H est le sous-groupe engendré par {x, y}. Si x
i y
j = x
k y
l ,
avec i, j, k, l compris entre 0 et p − 1, x
i−k = y
l− j . Cet élément est dans
gr(x) ∩ gr(y) qui est un sous-groupe strict de gr(x) donc son ordre divise strictement p qui est premier, donc gr(x) ∩ gr(y) = {e}, d’où x
i−k = e, et p divise
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit