Exercice 1.27
Divers concours
Soient G un groupe abélien d’ordre n, et k un entier naturel non nul premier
avec n. Montrer que l’application f : x → x
k est un automorphisme de G, et
expliciter sa réciproque.
Pour tout (x, y) ∈ G
2 , f (x y) = f (x) f (y) car G est abélien, donc f est un morphisme.
Par le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que uk + vn = 1, d’où
pour tout x ∈ G, (x
k )
u = x
1−kn = x car tout élément de G élevé à la puissance n
est égal à e (voir exercice 1.10 page 6). Par suite, l’application g : x → x
u vérifie
f ◦ g = g ◦ f = Id, donc f est bijective, et g est sa réciproque.
Exercice 1.28
Mines-Ponts MP 2006 et 2007
Soit (G,·) un groupe fini non réduit à son élément neutre e tel que pour tout
g ∈ G, g
2 = e.
1) Vérifier que G est abélien.
2) Justifier que si H est un sous-groupe strict de G et si a ∈ G \ H , alors H ∪a H
est un sous-groupe de G d’ordre égal à 2 card H .
3) En déduire que l’ordre de G est égal à une puissance de 2.
1) Soit (x, y) ∈ G
2 . On a x yx y = e. En multipliant à gauche par x et à droite par y,
on obtient x x yx yy = x y, d’où yx = x y.
2) • Si x et y ∈ H , alors x y ∈ H .
• Si x et y ∈ a H, alors il existe x
et y
∈ H tels que x = ax
et y = ay
d’où
x y = x
y
∈ H car a
2 = e et G est abélien.
• Si x ∈ H et y ∈ a H, alors x y ∈ a H.
On en déduit que H ∪ a H est stable pour la loi · . Tout élément de G étant
son propre symétrique, H ∪ a H est bien un sous-groupe de G. D’autre part,
H ∩ a H = ∅ (sinon a serait dans H ), donc card(H ∪ a H) = 2 card H .
3) On démontre par récurrence finie sur k que tant que 2
k
card G, il existe des éléments a 1 , . . . , a k de G tels que H k = {a
j 1
1 a
j 2
2 . . . a
j k
k | ( j 1 , j 2 , . . . , j k ) ∈ {0, 1}
k
}
soit un sous-groupe de G d’ordre 2
k .
On pose H 0 = {e}. On suppose H k construit et 2
k+1
card G. Comme H k G,
il existe un élément a k+1 ∈ G \ H k . D’après 2), H k+1 = H k ∪ a k+1 H k est un
sous-groupe d’ordre 2
k+1 qui convient.
Puisque G est fini, le processus s’arrête forcément, donc l’ordre de G est de la
forme 2
n .
Divers concours
Soient G un groupe abélien d’ordre n, et k un entier naturel non nul premier
avec n. Montrer que l’application f : x → x
k est un automorphisme de G, et
expliciter sa réciproque.
Pour tout (x, y) ∈ G
2 , f (x y) = f (x) f (y) car G est abélien, donc f est un morphisme.
Par le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que uk + vn = 1, d’où
pour tout x ∈ G, (x
k )
u = x
1−kn = x car tout élément de G élevé à la puissance n
est égal à e (voir exercice 1.10 page 6). Par suite, l’application g : x → x
u vérifie
f ◦ g = g ◦ f = Id, donc f est bijective, et g est sa réciproque.
Exercice 1.28
Mines-Ponts MP 2006 et 2007
Soit (G,·) un groupe fini non réduit à son élément neutre e tel que pour tout
g ∈ G, g
2 = e.
1) Vérifier que G est abélien.
2) Justifier que si H est un sous-groupe strict de G et si a ∈ G \ H , alors H ∪a H
est un sous-groupe de G d’ordre égal à 2 card H .
3) En déduire que l’ordre de G est égal à une puissance de 2.
1) Soit (x, y) ∈ G
2 . On a x yx y = e. En multipliant à gauche par x et à droite par y,
on obtient x x yx yy = x y, d’où yx = x y.
2) • Si x et y ∈ H , alors x y ∈ H .
• Si x et y ∈ a H, alors il existe x
et y
∈ H tels que x = ax
et y = ay
d’où
x y = x
y
∈ H car a
2 = e et G est abélien.
• Si x ∈ H et y ∈ a H, alors x y ∈ a H.
On en déduit que H ∪ a H est stable pour la loi · . Tout élément de G étant
son propre symétrique, H ∪ a H est bien un sous-groupe de G. D’autre part,
H ∩ a H = ∅ (sinon a serait dans H ), donc card(H ∪ a H) = 2 card H .
3) On démontre par récurrence finie sur k que tant que 2
k
card G, il existe des éléments a 1 , . . . , a k de G tels que H k = {a
j 1
1 a
j 2
2 . . . a
j k
k | ( j 1 , j 2 , . . . , j k ) ∈ {0, 1}
k
}
soit un sous-groupe de G d’ordre 2
k .
On pose H 0 = {e}. On suppose H k construit et 2
k+1
card G. Comme H k G,
il existe un élément a k+1 ∈ G \ H k . D’après 2), H k+1 = H k ∪ a k+1 H k est un
sous-groupe d’ordre 2
k+1 qui convient.
Puisque G est fini, le processus s’arrête forcément, donc l’ordre de G est de la
forme 2
n .