En simplifiant par d, on obtient n
| m
a, d’où n
| a par théorème de Gauss,
donc il existe k ∈ [[0 , d − 1]] tel que a = k
n
d
= kn
.
◦ Inversement, pour k ∈ [[0 , d − 1]], l’application f k : Z/mZ −→ Z/nZ
x
−→ kn x
est un morphisme de groupes. On obtient finalement d morphismes solutions.
• On suppose maintenant n = m. On cherche une condition nécessaire et suffisante pour que f k : Z/nZ −→ Z/nZ
x
−→ kx
soit bijective. Comme Z/nZ est fini,
f k est bijective si et seulement si elle est injective, c’est-à-dire si on a l’équivalence
x = 0 ⇐⇒ kx = 0.
Si k est premier avec n, c’est vrai par théorème de Gauss.
Sinon, en prenant x =
n
n ∧ k
, on a x = 0 alors que kx = 0.
La condition cherchée est donc k premier avec n. Les automorphismes du groupe
additif Z/nZ sont les applications f k définies par f k (x) = kx, pour k ∈ [[1 , n]] et
premier avec n. Ils sont au nombre de w(n).
Remarque
Les automorphismes d’un groupe G forment un groupe pour la loi ◦, noté Aut(G).
Dans le cas de Z/nZ, on a f k ◦ f k = f kk , donc Aut(G) est isomorphe au groupe
multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau Z/nZ.
Exercice 1.26
Centrale MP 2005
Soit G un groupe. On note A l’ensemble des éléments de G d’ordre fini impair.
Montrer que A est non vide, et que l’application x → x
2 est une permutation
de A.
• L’ensemble A est non vide car l’élément neutre e est d’ordre 1, impair.
• Soit x un élément de G d’ordre impair 2 p + 1. L’élément x
2 est également d’ordre
2 p + 1 (voir par exemple l’exercice 1.8 page 4), donc appartient à A.
• Soient x et y des éléments de A tels que x
2 = y
2 . Notons 2 p + 1 l’ordre de x.
On a x = (x
2 )
p+1 = (y
2 )
p+1 = y
2 p+2 , d’où y
4 p+4 = x
2 = y
2 , soit y
4 p+2 = e.
L’ordre de y divise 4 p + 2 et est impair, donc divise 2 p + 1, d’où y = y
2 p+1 y = x.
L’application x → x
2 définie sur A est injective.
Soit y un élément de A d’ordre 2 p + 1. On pose x = y
p+1 , on obtient
x
2 = y
2 p+2 = y. De plus, x
k = e ⇐⇒ y
k( p+1) = e ⇐⇒ 2 p + 1 | k( p + 1), or
2 p + 1 est premier avec p + 1 (on a la relation de Bézout 2( p + 1) − (2 p + 1) = 1),
donc x
k = e ⇐⇒ 2 p + 1 | k, ce qui signifie que x est d’ordre 2 p + 1, donc
l’application étudiée est surjective.
Finalement, l’application x → x
2 est une permutation de A.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
| m
a, d’où n
| a par théorème de Gauss,
donc il existe k ∈ [[0 , d − 1]] tel que a = k
n
d
= kn
.
◦ Inversement, pour k ∈ [[0 , d − 1]], l’application f k : Z/mZ −→ Z/nZ
x
−→ kn x
est un morphisme de groupes. On obtient finalement d morphismes solutions.
• On suppose maintenant n = m. On cherche une condition nécessaire et suffisante pour que f k : Z/nZ −→ Z/nZ
x
−→ kx
soit bijective. Comme Z/nZ est fini,
f k est bijective si et seulement si elle est injective, c’est-à-dire si on a l’équivalence
x = 0 ⇐⇒ kx = 0.
Si k est premier avec n, c’est vrai par théorème de Gauss.
Sinon, en prenant x =
n
n ∧ k
, on a x = 0 alors que kx = 0.
La condition cherchée est donc k premier avec n. Les automorphismes du groupe
additif Z/nZ sont les applications f k définies par f k (x) = kx, pour k ∈ [[1 , n]] et
premier avec n. Ils sont au nombre de w(n).
Remarque
Les automorphismes d’un groupe G forment un groupe pour la loi ◦, noté Aut(G).
Dans le cas de Z/nZ, on a f k ◦ f k = f kk , donc Aut(G) est isomorphe au groupe
multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau Z/nZ.
Exercice 1.26
Centrale MP 2005
Soit G un groupe. On note A l’ensemble des éléments de G d’ordre fini impair.
Montrer que A est non vide, et que l’application x → x
2 est une permutation
de A.
• L’ensemble A est non vide car l’élément neutre e est d’ordre 1, impair.
• Soit x un élément de G d’ordre impair 2 p + 1. L’élément x
2 est également d’ordre
2 p + 1 (voir par exemple l’exercice 1.8 page 4), donc appartient à A.
• Soient x et y des éléments de A tels que x
2 = y
2 . Notons 2 p + 1 l’ordre de x.
On a x = (x
2 )
p+1 = (y
2 )
p+1 = y
2 p+2 , d’où y
4 p+4 = x
2 = y
2 , soit y
4 p+2 = e.
L’ordre de y divise 4 p + 2 et est impair, donc divise 2 p + 1, d’où y = y
2 p+1 y = x.
L’application x → x
2 définie sur A est injective.
Soit y un élément de A d’ordre 2 p + 1. On pose x = y
p+1 , on obtient
x
2 = y
2 p+2 = y. De plus, x
k = e ⇐⇒ y
k( p+1) = e ⇐⇒ 2 p + 1 | k( p + 1), or
2 p + 1 est premier avec p + 1 (on a la relation de Bézout 2( p + 1) − (2 p + 1) = 1),
donc x
k = e ⇐⇒ 2 p + 1 | k, ce qui signifie que x est d’ordre 2 p + 1, donc
l’application étudiée est surjective.
Finalement, l’application x → x
2 est une permutation de A.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit