Chap. 1. Algèbre générale
On a U (Z/20Z) = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}.
Le tableau suivant résume les ordres de ses éléments :
x
1
3
7
9
11
13
17
19
ordre de x
1
4
4
2
2
4
4
2
Aucun élément n’étant d’ordre 8, qui est le cardinal de U (Z/20Z), ce groupe n’est
pas cyclique.
Remarque
Puisque 20 = 4 × 5 et que 4 et 5 sont premiers entre eux, on sait par le théorème chinois que U (Z/20Z) est isomorphe à U (Z/4Z) × U (Z/5Z) qui est
égal à {1, 3} mod 4 × {1, 2, 3, 4} mod 5 , lui-même isomorphe au groupe additif
Z/2Z × Z/4Z.
Exercice 1.24
Mines-Ponts MP 2006
Si p est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans Z/ pZ ?
Dans Z/2Z, il y a 2 carrés.
On suppose p 3. Si x et y appartiennent à Z/ pZ, on a x
2 = y
2
⇐⇒ x = ±y.
Tout élément non nul est différent de son opposé, donc chaque carré non nul possède
exactement deux antécédents par l’application x → x
2 . Le nombre de carrés non
nuls est donc
p − 1
2
, et le nombre de carrés est
p − 1
2
+ 1 =
p + 1
2
.
1.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 1.25
Centrale MP 2005
Déterminer les morphismes de groupes de (Z/mZ, +) dans (Z/nZ, +), puis les
automorphismes du groupe (Z/nZ, +).
• On note d le PGCD de m et n. Il existe donc deux entiers m
et n
premiers entre
eux tels que m = dm
et n = dn
.
◦ Soit f un morphisme de groupes de (Z/mZ, +) dans (Z/nZ, +).
Soit x ∈ [[0 , m − 1]]. Comme x = 1 + 1 · · · + 1
x fois
, on a :
f (x) = f (1) + f (1) · · · + f (1)
x fois
= x f (1),
donc f est entièrement déterminée par la donnée de f (1). On pose f (1) = a,
où a ∈ [[0 , n − 1]]. On a alors ma = m f (1) = f (m) = f (0) = 0, donc n | ma.