Exercice 1.20
Mines-Ponts MP 2007
Déterminer le groupe des inversibles de l’anneau Z/9Z et trouver un groupe qui
lui soit isomorphe.
L’élément x est inversible dans Z/9Z si et seulement si x est premier avec 9, donc le
groupe des inversibles de Z/9Z est l’ensemble U (Z/9Z) = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
Calculons les puissances de 2 pour déterminer le sous-groupe engendré par 2 :
On a 2
0 = 1, 2
1 = 2, 2
2 = 4, 2
3 = 8, 2
4 = 7, 2
5 = 5. On obtient ainsi tous
les éléments de U (Z/9Z) donc U (Z/9Z) est cyclique d’ordre 6, et par conséquent
isomorphe au groupe additif Z/6Z.
Exercice 1.21
Mines-Ponts MP 2007
Les groupes multiplicatifs U (Z/9Z) et U (Z/7Z) sont-ils isomorphes ?
Comme 7 est premier, U (Z/7Z) = Z/7Z \ {0}. Cherchons le sous-groupe de
U (Z/7Z) engendré par 3. On a 3
0 = 1, 3
1 = 3, 3
2 = 2, 3
3 = 6, 3
4 = 4, 3
5 = 5.
On obtient ainsi tous les éléments de U (Z/7Z), donc U (Z/7Z) est cyclique d’ordre
6, et d’après l’exercice précédent, il est isomorphe au groupe multiplicatif U (Z/9Z).
Exercice 1.22
Déterminer les éléments inversibles de l’anneau Z/24Z. Calculer l’ordre de
chaque élément pour la multiplication.
L’élément x est inversible dans Z/24Z si et seulement si x est premier avec 24, donc
l’ensemble des inversibles de Z/24Z est U (Z/24Z) = {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}.
Après calcul, on voit que tout élément de ce groupe est de carré 1, donc tous les
éléments sont d’ordre 2, sauf 1 qui est d’ordre 1.
Remarque
Ce groupe est isomorphe au groupe additif (Z/2Z)
3 (voir exercice 1.28 page 16).
Exercice 1.23
Centrale MP 2005
Le groupe des inversibles de l’anneau Z/20Z est-il cyclique ?
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