Exercice 1.17
Centrale MP 2006
Soient a, b, c des entiers. Montrer que si 7 divise a
3 + b
3 + c
3 , alors 7 divise abc.
On calcule les cubes dans Z/7Z :
0
3 = 0, 1
3 = 1, 2
3 = 1, 3
3 = 6, 4
3 = 1, 5
3 = 6, 6
3 = 6 .
On obtient les trois valeurs possibles 0, 1 et −1. Si la somme de trois cubes est
nulle, alors l’un des cubes est égal à 0, autrement dit l’un des 3 nombres a, b ou c est
multiple de 7, ce qui implique que abc est multiple de 7.
Exercice 1.18
Résoudre dans Z le système suivant :
x ≡ 5 (mod 12)
x ≡ 3 (mod 25)
Un tel système de congruences s’appelle un problème chinois. On traduit l’énoncé :
il existe (a, b) ∈ Z
2 tel que x = 5 + 12a = 3 + 25b, c’est-à-dire x = 5 + 12a et
−12a + 25b = 2. On a l’identité de Bézout −12 × 2 + 25 × 1 = 1 (12 et 25 sont
premiers entre eux). On la multiplie par 2 et on la soustrait de l’équation, ce qui
donne de manière équivalente 12(a − 4) = 25(b − 2). Par le théorème de Gauss,
puisque 12 et 25 sont premiers entre eux, 12 divise b − 2, donc l’équation équivaut
à l’existence de k ∈ Z tel que b − 2 = 12k, et donc a − 4 = 25k. On reporte et on
obtient que x est solution si et seulement si il existe k ∈ Z tel que x = 3+25(2+12k),
c’est-à-dire x = 53 + 300k. L’ensemble des solutions est donc la classe de 53 modulo
300 = 12 × 25.
Exercice 1.19
TPE MP 2005
Résoudre dans Z/37Z le système
6x + 7y = 30
3x − 7y = 0
En ajoutant les deux équations, on obtient 9x = 30. L’inverse de 9 est −4 (à cause
de la relation de Bézout 37 − 4 × 9 = 1), donc x = −4 × 30 = 28. Par suite,
7y = 3 × 28 = 10. L’inverse de 7 est 16 (car −3 × 37 + 16 × 7 = 1), donc
y = 16 × 10 = 12.
Remarque
Ce système linéaire admet une solution unique car son déterminant vaut −63 qui
n’est pas nul (on travaille dans Z/37Z qui est un corps), voir exercice 6.8 page 163
pour une résolution avec les formules de Cramer.
Centrale MP 2006
Soient a, b, c des entiers. Montrer que si 7 divise a
3 + b
3 + c
3 , alors 7 divise abc.
On calcule les cubes dans Z/7Z :
0
3 = 0, 1
3 = 1, 2
3 = 1, 3
3 = 6, 4
3 = 1, 5
3 = 6, 6
3 = 6 .
On obtient les trois valeurs possibles 0, 1 et −1. Si la somme de trois cubes est
nulle, alors l’un des cubes est égal à 0, autrement dit l’un des 3 nombres a, b ou c est
multiple de 7, ce qui implique que abc est multiple de 7.
Exercice 1.18
Résoudre dans Z le système suivant :
x ≡ 5 (mod 12)
x ≡ 3 (mod 25)
Un tel système de congruences s’appelle un problème chinois. On traduit l’énoncé :
il existe (a, b) ∈ Z
2 tel que x = 5 + 12a = 3 + 25b, c’est-à-dire x = 5 + 12a et
−12a + 25b = 2. On a l’identité de Bézout −12 × 2 + 25 × 1 = 1 (12 et 25 sont
premiers entre eux). On la multiplie par 2 et on la soustrait de l’équation, ce qui
donne de manière équivalente 12(a − 4) = 25(b − 2). Par le théorème de Gauss,
puisque 12 et 25 sont premiers entre eux, 12 divise b − 2, donc l’équation équivaut
à l’existence de k ∈ Z tel que b − 2 = 12k, et donc a − 4 = 25k. On reporte et on
obtient que x est solution si et seulement si il existe k ∈ Z tel que x = 3+25(2+12k),
c’est-à-dire x = 53 + 300k. L’ensemble des solutions est donc la classe de 53 modulo
300 = 12 × 25.
Exercice 1.19
TPE MP 2005
Résoudre dans Z/37Z le système
6x + 7y = 30
3x − 7y = 0
En ajoutant les deux équations, on obtient 9x = 30. L’inverse de 9 est −4 (à cause
de la relation de Bézout 37 − 4 × 9 = 1), donc x = −4 × 30 = 28. Par suite,
7y = 3 × 28 = 10. L’inverse de 7 est 16 (car −3 × 37 + 16 × 7 = 1), donc
y = 16 × 10 = 12.
Remarque
Ce système linéaire admet une solution unique car son déterminant vaut −63 qui
n’est pas nul (on travaille dans Z/37Z qui est un corps), voir exercice 6.8 page 163
pour une résolution avec les formules de Cramer.