1.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation
• Inversement, si
r
i=1
p i divise x, alors en notant k = max(a 1 , . . . , a r ), n divise
r
i=1
p
k
i , donc n divise x
k , d’où x ∈
√
nZ.
Nous avons finalement montré que
√
nZ =
r
i=1
p i
Z.
1.1.5 L’anneau Z/nZ
Ce qu’il faut savoir
• Comme la congruence modulo n est compatible avec la multiplication, on définit dans Z/nZ une loi multiplicative en posant x · y = x y.
L’ensemble Z/nZ muni des lois + et · est un anneau commutatif.
L’application s : Z −→ Z/nZ
x −→ x
est un morphisme d’anneaux surjectif,
appelé surjection canonique.
• Soit a ∈ Z, a est inversible dans Z/nZ si et seulement si a est premier avec n.
Pour n ∈ N
∗ , on note w(n) le nombre d’entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n. La fonction w est appelée indicatrice d’Euler.
On note U (Z/nZ) le groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z/nZ. Il
est de cardinal w(n).
• L’anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.
• Si A est un anneau, alors l’application f : Z −→ A
x −→ x 1 A
est un morphisme
d’anneaux. Deux possibilités se présentent :
◦ Si f est injective, on dit que A est de caractéristique nulle.
◦ Sinon, son noyau est un idéal de Z, de la forme nZ avec n ∈ N
∗ . L’entier n
est appelé la caractéristique de A.
• La caractéristique d’un corps est nulle ou égale à un nombre premier.
Autres connaissances utiles
• Soient m et n deux entiers naturels premiers entre eux. L’application
x (mod mn) → (x (mod m), x (mod n)) est un isomorphisme d’anneaux
de Z/mnZ sur Z/mZ × Z/nZ. En la restreignant aux éléments inversibles,
on obtient un isomorphisme de groupes multiplicatifs entre U (Z/mnZ) et
U (Z/mZ) × U (Z/nZ). On en déduit que w(mn) = w(m)w(n).
• Soient p un nombre premier et a ∈ N
∗ . On a w( p
a ) = p
a
− p
a−1 = p
a (1−
1
p
).
• Soit p
a 1
1 · · · p
a r
r
la décomposition en facteurs premiers de n. On a alors
w(n) = p
a 1 −1
1
( p 1 −1) · · · p
a r −1
r
( p r −1), ou encore w(n) = n(1−
1
p 1
) · · · (1−
1
p r
).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
• Inversement, si
r
i=1
p i divise x, alors en notant k = max(a 1 , . . . , a r ), n divise
r
i=1
p
k
i , donc n divise x
k , d’où x ∈
√
nZ.
Nous avons finalement montré que
√
nZ =
r
i=1
p i
Z.
1.1.5 L’anneau Z/nZ
Ce qu’il faut savoir
• Comme la congruence modulo n est compatible avec la multiplication, on définit dans Z/nZ une loi multiplicative en posant x · y = x y.
L’ensemble Z/nZ muni des lois + et · est un anneau commutatif.
L’application s : Z −→ Z/nZ
x −→ x
est un morphisme d’anneaux surjectif,
appelé surjection canonique.
• Soit a ∈ Z, a est inversible dans Z/nZ si et seulement si a est premier avec n.
Pour n ∈ N
∗ , on note w(n) le nombre d’entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n. La fonction w est appelée indicatrice d’Euler.
On note U (Z/nZ) le groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z/nZ. Il
est de cardinal w(n).
• L’anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.
• Si A est un anneau, alors l’application f : Z −→ A
x −→ x 1 A
est un morphisme
d’anneaux. Deux possibilités se présentent :
◦ Si f est injective, on dit que A est de caractéristique nulle.
◦ Sinon, son noyau est un idéal de Z, de la forme nZ avec n ∈ N
∗ . L’entier n
est appelé la caractéristique de A.
• La caractéristique d’un corps est nulle ou égale à un nombre premier.
Autres connaissances utiles
• Soient m et n deux entiers naturels premiers entre eux. L’application
x (mod mn) → (x (mod m), x (mod n)) est un isomorphisme d’anneaux
de Z/mnZ sur Z/mZ × Z/nZ. En la restreignant aux éléments inversibles,
on obtient un isomorphisme de groupes multiplicatifs entre U (Z/mnZ) et
U (Z/mZ) × U (Z/nZ). On en déduit que w(mn) = w(m)w(n).
• Soient p un nombre premier et a ∈ N
∗ . On a w( p
a ) = p
a
− p
a−1 = p
a (1−
1
p
).
• Soit p
a 1
1 · · · p
a r
r
la décomposition en facteurs premiers de n. On a alors
w(n) = p
a 1 −1
1
( p 1 −1) · · · p
a r −1
r
( p r −1), ou encore w(n) = n(1−
1
p 1
) · · · (1−
1
p r
).
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