Chap. 1. Algèbre générale
3) Soit I un idéal de A. On suppose d’abord que I n’est pas inclus dans K × {0}, ni
dans {0} × K . Il existe un élément (a, b) ∈ I tel que a et b soient tous deux non
nuls. Par suite, pour tout (x, y) ∈ A, (x, y) = (x ·a
−1 , y·b
−1 )·(a, b) ∈ I (car I est
un idéal), donc A = I .
Si I ⊂ K × {0} et n’est pas réduit à {(0, 0)}, il existe a ∈ K \ {0} tel que
(a, 0) ∈ I , auquel cas pour tout x ∈ K , (x, 0) = (x ·a
−1 , 0)·(a, 0) ∈ I (car I est
un idéal), donc A = K × {0}.
Finalement, les idéaux de A sont {(0, 0)}, K × {0}, {0} × K et A (on vérifie
facilement que ces quatre ensembles sont bien des idéaux).
Exercice 1.16
Centrale MP 2006, 2007
Soit I un idéal d’un anneau commutatif A. On appelle radical de I l’ensemble
√
I défini par
√
I = {x ∈ A | ∃n ∈ N
∗ , x
n
∈ I }.
1) Montrer que le radical d’un idéal est un idéal.
2) Déterminer le radical d’un idéal de Z.
1) On observe déjà que I ⊂
√
I .
Soient x et y appartenant à
√
I . Il existe p et q appartenant à N
∗ tels que x
p
∈ I et
y
q
∈ I . Par la formule du binôme, (x +y)
p+q−1 =
p+q−1
k=0
p + q − 1
k
x
k y
p+q−1−k .
Pour k ∈ [[0 , p − 1]], on a p+q −1−k q, d’où y
p+q−1−k = y
p−1−k y
q
∈ I (car
I est un idéal), donc
p + q − 1
k
x
k y
p+q−1−k
∈ I (toujours car I est un idéal).
Pour k ∈ [[ p , p + q − 1]], on a x
k = x
k− p x
p
∈ I , donc
p + q − 1
k
x
k y
p+q−1−k
∈ I .
Tous les termes de la somme appartiennent à I et I est stable par +, donc
(x + y)
p+q−1
∈ I , d’où x + y ∈
√
I , et clairement −x ∈ I .
Soient x ∈ I et a ∈ A. Il existe p 1 tel que x
p
∈ I , donc (ax)
p = a
p x
p
∈ I
(car I est un idéal). Ceci achève de prouver que
√
I est un idéal de A.
2) Soit nZ un idéal de Z. On décompose n en facteurs premiers sous la forme
p
a 1
1 · · · p
a r
r .
• Soit x ∈
√
nZ. Il existe k ∈ N
∗ tel que n divise x
k , donc pour tout i ∈ [[1 , r ]],
p i divise x
k . Or p i est premier, donc p i divise x, et ceci est valable pour tout i,
d’où finalement
r
i=1
p i divise x.
3) Soit I un idéal de A. On suppose d’abord que I n’est pas inclus dans K × {0}, ni
dans {0} × K . Il existe un élément (a, b) ∈ I tel que a et b soient tous deux non
nuls. Par suite, pour tout (x, y) ∈ A, (x, y) = (x ·a
−1 , y·b
−1 )·(a, b) ∈ I (car I est
un idéal), donc A = I .
Si I ⊂ K × {0} et n’est pas réduit à {(0, 0)}, il existe a ∈ K \ {0} tel que
(a, 0) ∈ I , auquel cas pour tout x ∈ K , (x, 0) = (x ·a
−1 , 0)·(a, 0) ∈ I (car I est
un idéal), donc A = K × {0}.
Finalement, les idéaux de A sont {(0, 0)}, K × {0}, {0} × K et A (on vérifie
facilement que ces quatre ensembles sont bien des idéaux).
Exercice 1.16
Centrale MP 2006, 2007
Soit I un idéal d’un anneau commutatif A. On appelle radical de I l’ensemble
√
I défini par
√
I = {x ∈ A | ∃n ∈ N
∗ , x
n
∈ I }.
1) Montrer que le radical d’un idéal est un idéal.
2) Déterminer le radical d’un idéal de Z.
1) On observe déjà que I ⊂
√
I .
Soient x et y appartenant à
√
I . Il existe p et q appartenant à N
∗ tels que x
p
∈ I et
y
q
∈ I . Par la formule du binôme, (x +y)
p+q−1 =
p+q−1
k=0
p + q − 1
k
x
k y
p+q−1−k .
Pour k ∈ [[0 , p − 1]], on a p+q −1−k q, d’où y
p+q−1−k = y
p−1−k y
q
∈ I (car
I est un idéal), donc
p + q − 1
k
x
k y
p+q−1−k
∈ I (toujours car I est un idéal).
Pour k ∈ [[ p , p + q − 1]], on a x
k = x
k− p x
p
∈ I , donc
p + q − 1
k
x
k y
p+q−1−k
∈ I .
Tous les termes de la somme appartiennent à I et I est stable par +, donc
(x + y)
p+q−1
∈ I , d’où x + y ∈
√
I , et clairement −x ∈ I .
Soient x ∈ I et a ∈ A. Il existe p 1 tel que x
p
∈ I , donc (ax)
p = a
p x
p
∈ I
(car I est un idéal). Ceci achève de prouver que
√
I est un idéal de A.
2) Soit nZ un idéal de Z. On décompose n en facteurs premiers sous la forme
p
a 1
1 · · · p
a r
r .
• Soit x ∈
√
nZ. Il existe k ∈ N
∗ tel que n divise x
k , donc pour tout i ∈ [[1 , r ]],
p i divise x
k . Or p i est premier, donc p i divise x, et ceci est valable pour tout i,
d’où finalement
r
i=1
p i divise x.