1.1.4 Anneaux, idéaux, corps
Ce qu’il faut savoir
• Soient A et A
deux anneaux et f une application de A dans A
. On dit que f est
un morphisme d’anneaux lorsque
⎧
⎨
⎩
∀(x, y) ∈ A
2 , f (x + y) = f (x) + f (y)
∀(x, y) ∈ A
2 ,
f (x · y) = f (x)· f (y)
f (1 A ) = 1 A
• Soient A un anneau commutatif et I une partie de A.
On dit que I est un idéal de A lorsque
I est un sous-groupe additif de A
∀a ∈ A, ∀x ∈ I , ax ∈ I
• Toute intersection d’idéaux est un idéal. La somme de deux idéaux est un idéal.
• L’idéal engendré par un élément x de A est le plus petit idéal de A contenant x.
Il est égal à x A.
• Soient a et b appartenant à A. On dit que a divise b lorsqu’il existe c ∈ A tel
que b = ac. Cela est équivalent au fait que b A ⊂ a A.
• Les idéaux de Z sont de la forme nZ, où n ∈ N.
• Soit K un corps. Les idéaux de K[X ] sont de la forme P K[X ], où P ∈ K[X ].
Exercice 1.14
Démontrer que les seuls idéaux d’un corps K sont {0} et K .
Soit I un idéal de K non réduit à {0}. Soit a un élément non nul de I . Soit x ∈ K ,
comme K est un corps, a est inversible dans K , donc x = xa
−1 a. Or a ∈ I et I est
un idéal, donc x ∈ I , d’où finalement I = K .
Exercice 1.15
CCP MP 2005
Soit K un corps et A = K × K .
1) Rappeler la structure canonique d’anneau de A.
2) L’anneau A est-il un corps ?
3) Déterminer les idéaux de A.
1) Les lois + et · sont définies dans A à partir de celles de K par les relations :
(x, y) + (x
, y
) = (x + x
, y + y
) et (x, y)·(x
, y
) = (x ·x
, y · y
) .
2) On a (1, 0)·(0, 1) = (0, 0). L’anneau A n’est pas intègre, donc n’est pas un corps.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Ce qu’il faut savoir
• Soient A et A
deux anneaux et f une application de A dans A
. On dit que f est
un morphisme d’anneaux lorsque
⎧
⎨
⎩
∀(x, y) ∈ A
2 , f (x + y) = f (x) + f (y)
∀(x, y) ∈ A
2 ,
f (x · y) = f (x)· f (y)
f (1 A ) = 1 A
• Soient A un anneau commutatif et I une partie de A.
On dit que I est un idéal de A lorsque
I est un sous-groupe additif de A
∀a ∈ A, ∀x ∈ I , ax ∈ I
• Toute intersection d’idéaux est un idéal. La somme de deux idéaux est un idéal.
• L’idéal engendré par un élément x de A est le plus petit idéal de A contenant x.
Il est égal à x A.
• Soient a et b appartenant à A. On dit que a divise b lorsqu’il existe c ∈ A tel
que b = ac. Cela est équivalent au fait que b A ⊂ a A.
• Les idéaux de Z sont de la forme nZ, où n ∈ N.
• Soit K un corps. Les idéaux de K[X ] sont de la forme P K[X ], où P ∈ K[X ].
Exercice 1.14
Démontrer que les seuls idéaux d’un corps K sont {0} et K .
Soit I un idéal de K non réduit à {0}. Soit a un élément non nul de I . Soit x ∈ K ,
comme K est un corps, a est inversible dans K , donc x = xa
−1 a. Or a ∈ I et I est
un idéal, donc x ∈ I , d’où finalement I = K .
Exercice 1.15
CCP MP 2005
Soit K un corps et A = K × K .
1) Rappeler la structure canonique d’anneau de A.
2) L’anneau A est-il un corps ?
3) Déterminer les idéaux de A.
1) Les lois + et · sont définies dans A à partir de celles de K par les relations :
(x, y) + (x
, y
) = (x + x
, y + y
) et (x, y)·(x
, y
) = (x ·x
, y · y
) .
2) On a (1, 0)·(0, 1) = (0, 0). L’anneau A n’est pas intègre, donc n’est pas un corps.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit