Chap. 1. Algèbre générale
En décomposant s en cycles disjoints, on obtient s = c 1 ◦ c 2 , où c 1 = (1, 2, 7, 5) et
c 2 = (3, 4, 6, 8, 10). Comme c 1 et c 2 commutent, s
2008 = c
2008
1
◦c
2008
2
. On a c
4
1 = Id et
2008 = 4×502 donc c
2008
1
= (c
4
1 )
502 = Id. D’autre part, c
5
2 = Id et 2008 = 5×401+3
donc c
2008
2
= c
3
2 = (3, 8, 4, 10, 6). Finalement, s
2008 = (3, 8, 4, 10, 6).
Exercice 1.12
1) Démontrer que la signature d’un cycle de longueur p est égale à (−1)
p−1 .
2) Quel est son ordre ?
3) A quelle condition son carré est-il un cycle de même longueur ?
1) Soit s = (i 1 , i 2 , . . . , i p ) un cycle de longueur p. Il est égal à la composée des
p − 1 transpositions (i 1 , i 2 )(i 2 , i 3 ) . . . (i p−1 , i p ), donc sa signature est le produit de
leurs signatures, c’est-à-dire (−1)
p−1 .
2) Si k < p, alors s
k (i 1 ) = i k+1 = i 1 et s
p (i 1 ) = i 1 . Il en est de même pour les
autres indices (car chaque élément du support d’un cycle joue le même rôle, et les
autres éléments sont invariants), donc p est le plus petit entier strictement positif
tel que s
p = Id, c’est-à-dire l’ordre de s.
3) Si p est impair, alors s
2 est le cycle (i 1 , i 3 , i 5 . . . , i p , i 2 , i 4 . . . , i p−1 ) de longueur
p. Si p est pair, alors s
2 = (i 1 , i 3 , . . . , i p−1 ) ◦ (i 2 , i 4 , . . . , i p ), c’est le produit de
deux cycles de longueur p/2 à supports disjoints.
La condition cherchée est donc que p est impair.
Exercice 1.13
Décomposer en cycles disjoints la permutation suivante :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 10 6 8 2 11 12 5 1 4 3 9
Calculer son ordre, sa signature.
On a s = (1, 7, 12, 9)◦(2, 10, 4, 8, 5)◦(3, 6, 11), donc ´(s) = (−1)
3 (−1)
4 (−1)
2 = −1.
Posons c 1 = (1, 7, 12, 9), c 2 = (2, 10, 4, 8, 5) et c 3 = (3, 6, 11). Comme ce sont des
cycles à supports disjoints, on a pour tout n ∈ N, s
n = c
n
1 ◦ c
n
2 ◦ c
n
3 , et s
n = Id
équivaut à c
n
1 = c
n
2 = c
n
3 = Id (car c
n
1 , c
n
2 et c
n
3 , sont encore à support disjoint),
c’est-à-dire n multiple de 4, de 5 et de 3, autrement dit de 60. L’ordre de s est donc
égal à 60.
En décomposant s en cycles disjoints, on obtient s = c 1 ◦ c 2 , où c 1 = (1, 2, 7, 5) et
c 2 = (3, 4, 6, 8, 10). Comme c 1 et c 2 commutent, s
2008 = c
2008
1
◦c
2008
2
. On a c
4
1 = Id et
2008 = 4×502 donc c
2008
1
= (c
4
1 )
502 = Id. D’autre part, c
5
2 = Id et 2008 = 5×401+3
donc c
2008
2
= c
3
2 = (3, 8, 4, 10, 6). Finalement, s
2008 = (3, 8, 4, 10, 6).
Exercice 1.12
1) Démontrer que la signature d’un cycle de longueur p est égale à (−1)
p−1 .
2) Quel est son ordre ?
3) A quelle condition son carré est-il un cycle de même longueur ?
1) Soit s = (i 1 , i 2 , . . . , i p ) un cycle de longueur p. Il est égal à la composée des
p − 1 transpositions (i 1 , i 2 )(i 2 , i 3 ) . . . (i p−1 , i p ), donc sa signature est le produit de
leurs signatures, c’est-à-dire (−1)
p−1 .
2) Si k < p, alors s
k (i 1 ) = i k+1 = i 1 et s
p (i 1 ) = i 1 . Il en est de même pour les
autres indices (car chaque élément du support d’un cycle joue le même rôle, et les
autres éléments sont invariants), donc p est le plus petit entier strictement positif
tel que s
p = Id, c’est-à-dire l’ordre de s.
3) Si p est impair, alors s
2 est le cycle (i 1 , i 3 , i 5 . . . , i p , i 2 , i 4 . . . , i p−1 ) de longueur
p. Si p est pair, alors s
2 = (i 1 , i 3 , . . . , i p−1 ) ◦ (i 2 , i 4 , . . . , i p ), c’est le produit de
deux cycles de longueur p/2 à supports disjoints.
La condition cherchée est donc que p est impair.
Exercice 1.13
Décomposer en cycles disjoints la permutation suivante :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 10 6 8 2 11 12 5 1 4 3 9
Calculer son ordre, sa signature.
On a s = (1, 7, 12, 9)◦(2, 10, 4, 8, 5)◦(3, 6, 11), donc ´(s) = (−1)
3 (−1)
4 (−1)
2 = −1.
Posons c 1 = (1, 7, 12, 9), c 2 = (2, 10, 4, 8, 5) et c 3 = (3, 6, 11). Comme ce sont des
cycles à supports disjoints, on a pour tout n ∈ N, s
n = c
n
1 ◦ c
n
2 ◦ c
n
3 , et s
n = Id
équivaut à c
n
1 = c
n
2 = c
n
3 = Id (car c
n
1 , c
n
2 et c
n
3 , sont encore à support disjoint),
c’est-à-dire n multiple de 4, de 5 et de 3, autrement dit de 60. L’ordre de s est donc
égal à 60.