1.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation
Supposons x x
= yy
avec (x, y) ∈ H
2 et (x
, y
) ∈ H
2 . On a alors
y
−1 x = y
x
−1 . Cet élément appartient à la fois à H et H
, donc est égal à e, d’où
x = y et x
= y
. On en déduit que c est injective, donc card(H × H
) card G,
d’où q
2
pq, ce qui est absurde.
1.1.3 Groupe symétrique
Ce qu’il faut savoir
• On note S n l’ensemble des permutations de [[1 , n]]. Muni de la loi ◦, cet
ensemble est un groupe de cardinal n!, appelé groupe symétrique d’indice n.
• Soient i 1 , i 2 , . . . , i p des entiers distincts appartenant à [[1 , n]]. On définit le
cycle (i 1 , i 2 , . . . , i p ) comme étant la permutation s telle que :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
s(i k ) = i k+1 pour tout k ∈ [[1 , p − 1]],
s(i p ) = i 1 ,
s( j) = j
pour tout j /
∈ {i 1 , . . . , i p }.
L’entier p est appelé la longueur du cycle, l’ensemble {i 1 , . . . , i p } est appelé
son support.
Une transposition est un cycle de longueur 2.
• Deux cycles à supports disjoints commutent.
• Toute permutation est la composée de cycles à supports deux à deux disjoints,
la décomposition étant unique à l’ordre près des facteurs.
• Toute permutation est une composée de transpositions.
• Soit s une permutation, on note I (s) le nombre de couples (i, j) tels que
1 i < j n et s(i) > s( j). La signature de s est le réel ´(s) = (−1)
I (s) .
La signature d’une transposition est égale à −1.
• La signature est un morphisme du groupe symétrique S n dans le groupe multiplicatif {−1, 1}.
Le noyau de ce morphisme, noté A n (ensemble des permutations de signature
+1) est un sous-groupe de S n appelé groupe alterné.
Si n 2, A n possède
1
2
n! éléments.
Exercice 1.11
On note s la permutation
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 7 4 6 1 8 5 10 9 3
.
Calculer s
2008 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Supposons x x
= yy
avec (x, y) ∈ H
2 et (x
, y
) ∈ H
2 . On a alors
y
−1 x = y
x
−1 . Cet élément appartient à la fois à H et H
, donc est égal à e, d’où
x = y et x
= y
. On en déduit que c est injective, donc card(H × H
) card G,
d’où q
2
pq, ce qui est absurde.
1.1.3 Groupe symétrique
Ce qu’il faut savoir
• On note S n l’ensemble des permutations de [[1 , n]]. Muni de la loi ◦, cet
ensemble est un groupe de cardinal n!, appelé groupe symétrique d’indice n.
• Soient i 1 , i 2 , . . . , i p des entiers distincts appartenant à [[1 , n]]. On définit le
cycle (i 1 , i 2 , . . . , i p ) comme étant la permutation s telle que :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
s(i k ) = i k+1 pour tout k ∈ [[1 , p − 1]],
s(i p ) = i 1 ,
s( j) = j
pour tout j /
∈ {i 1 , . . . , i p }.
L’entier p est appelé la longueur du cycle, l’ensemble {i 1 , . . . , i p } est appelé
son support.
Une transposition est un cycle de longueur 2.
• Deux cycles à supports disjoints commutent.
• Toute permutation est la composée de cycles à supports deux à deux disjoints,
la décomposition étant unique à l’ordre près des facteurs.
• Toute permutation est une composée de transpositions.
• Soit s une permutation, on note I (s) le nombre de couples (i, j) tels que
1 i < j n et s(i) > s( j). La signature de s est le réel ´(s) = (−1)
I (s) .
La signature d’une transposition est égale à −1.
• La signature est un morphisme du groupe symétrique S n dans le groupe multiplicatif {−1, 1}.
Le noyau de ce morphisme, noté A n (ensemble des permutations de signature
+1) est un sous-groupe de S n appelé groupe alterné.
Si n 2, A n possède
1
2
n! éléments.
Exercice 1.11
On note s la permutation
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 7 4 6 1 8 5 10 9 3
.
Calculer s
2008 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit