Chap. 1. Algèbre générale
les éléments de Z/nZ suivant leur ordre (qui doit diviser n), on en déduit que
n =
d|n
w(d).
Ce qu’il est bon de connaître
Théorème de Lagrange : si G est un groupe fini et H un sous-groupe de G, alors
le cardinal de H divise le cardinal de G.
Ce résultat est démontré dans l’exercice qui suit.
Terminologie : lorsque G est un groupe fini, on appelle ordre de G son cardinal.
Exercice 1.10
Soit G un groupe fini de cardinal n.
1) Soit H un sous-groupe de G.
• On introduit dans G la relation binaire suivante : xRy ⇐⇒ x
−1 y ∈ H .
Montrer que R est une relation d’équivalence.
• En déduire que l’ordre de H divise l’ordre de G.
2) Montrer que pour tout élément a de G, on a a
n = e.
3) question complémentaire (Centrale MP 2005) : on suppose que |G| s’écrit
pq où p et q sont premiers et p < q. Montrer que G contient au plus un
sous-groupe d’ordre q.
1) • ◦ xRx car x
−1 x = e ∈ H .
◦ Si xRy, alors x
−1 y ∈ H , d’où (x
−1 y)
−1 = y
−1 x ∈ H , donc yRx.
◦ Si xRy et yRz, alors x
−1 z = (x
−1 y) (y
−1 z) ∈ H , donc xRz.
• La classe d’équivalence d’un élément x est égal à l’ensemble des éléments
y ∈ G tels que x
−1 y ∈ H , c’est-à-dire à x H, donc son cardinal est celui
de H . Les classes d’équivalence forment une partition de G, donc s’il y a k
classes, alors card G = k card H .
2) Soit a ∈ G. On applique ce qui précède à H = gr(a). On sait que a
card H = e et
card H divise n, donc ∃k ∈ N
∗ , n = k card H , d’où a
n = (a
card H )
k = e
k = e.
3) On raisonne par l’absurde. Soient H et H
deux sous-groupes distincts de G
d’ordre q. On sait que H ∩ H
est un sous-groupe de G dont l’ordre est strictement inférieur à q et divise q, donc H ∩ H
= {e}.
Montrons que l’application c : H ∩H
est d’ordre 1 et H × H
→ G est injective
(x, x
) → x x