Soit d le PGCD de n et m. Il existe deux entiers n
et m
premiers entre eux tels que
n = dn
et m = dm
. On a les équivalences suivantes :
(g
m )
k = e ⇐⇒ g
mk = e ⇐⇒ n | km ⇐⇒ n
| km
⇐⇒ n
| k
(par théorème de Gauss)
Il en résulte que g
m est d’ordre n
=
n
d
.
Exercice 1.9
Centrale MP 2007, Mines-Ponts MP 2005
Soit G un groupe cyclique engendré par a, de cardinal n.
1) Montrer que tout sous-groupe de G est cyclique, de cardinal divisant n.
2) Soit d un diviseur de n. Montrer que G possède un unique sous-groupe de
cardinal d.
3) Si d ∈ N, on note w(d) le nombre d’entiers compris entre 1 et n qui sont
premiers avec n. Démontrer que : n =
d|n
w(d).
1) Soit H un sous-groupe de G, distinct de {e}.
On note m le plus petit entier naturel non nul tel que a
m
∈ H . Comme H est un
sous-groupe, le sous-groupe engendré par a
m est inclus dans H .
Soit x ∈ H . Il existe un entier naturel k tel que x = a
k . Par division euclidienne
de k par m, il existe deux entiers naturels j et r tels que k = m j + r et r m − 1.
Comme H est un groupe et que x ∈ H , x(a
m )
− j
∈ H , c’est-à-dire a
r
∈ H ,
d’où r = 0 par minimalité de m, puis x = a
m j . On a montré que H est cyclique
engendré par a
m .
Par division euclidienne de n par m, il existe deux entiers naturels q et s tels que
n = mq + s et s m − 1. Comme a
n = e, on en déduit a
s = (a
m )
−q , donc
a
s
∈ H , d’où s = 0 par minimalité de m, donc m divise n.
2) Comme d divise n, il existe m ∈ N tel que n = dm. Montrons que le sous-groupe
engendré par a
m est d’ordre d. On a (a
m )
d = e. S’il existe deux entiers k et j tels
que 0 j < k < d et a
km = a
jm , alors a
(k− j)m = e, or a est d’ordre n, donc
(k − j)m n, ce qui est absurde car k − j d − 1. Le sous-groupe engendré par
a
m est donc formé des d éléments distincts a
km pour 0 k d − 1. Inversement,
si H est un sous-groupe de G de cardinal d, l’étude menée à la première question
montre que H est engendré par a
n/d .
3) Plaçons nous dans le groupe additif Z/nZ. Soit x ∈ [[0 , n − 1]], l’élément x est
d’ordre d dans Z/nZ si et seulement si dx = 0 et ∀k ∈ [[1 , d − 1]], kx = 0. Cela
équivaut à l’existence de u ∈ [[1 , d − 1]] premier avec d tel que x =
n
d
u. Par
conséquent, Z/nZ possède autant d’éléments d’ordre d que d’entiers u compris
entre 1 et d − 1 qui sont premiers avec d, c’est-à-dire w(d). En partitionnant
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
et m
premiers entre eux tels que
n = dn
et m = dm
. On a les équivalences suivantes :
(g
m )
k = e ⇐⇒ g
mk = e ⇐⇒ n | km ⇐⇒ n
| km
⇐⇒ n
| k
(par théorème de Gauss)
Il en résulte que g
m est d’ordre n
=
n
d
.
Exercice 1.9
Centrale MP 2007, Mines-Ponts MP 2005
Soit G un groupe cyclique engendré par a, de cardinal n.
1) Montrer que tout sous-groupe de G est cyclique, de cardinal divisant n.
2) Soit d un diviseur de n. Montrer que G possède un unique sous-groupe de
cardinal d.
3) Si d ∈ N, on note w(d) le nombre d’entiers compris entre 1 et n qui sont
premiers avec n. Démontrer que : n =
d|n
w(d).
1) Soit H un sous-groupe de G, distinct de {e}.
On note m le plus petit entier naturel non nul tel que a
m
∈ H . Comme H est un
sous-groupe, le sous-groupe engendré par a
m est inclus dans H .
Soit x ∈ H . Il existe un entier naturel k tel que x = a
k . Par division euclidienne
de k par m, il existe deux entiers naturels j et r tels que k = m j + r et r m − 1.
Comme H est un groupe et que x ∈ H , x(a
m )
− j
∈ H , c’est-à-dire a
r
∈ H ,
d’où r = 0 par minimalité de m, puis x = a
m j . On a montré que H est cyclique
engendré par a
m .
Par division euclidienne de n par m, il existe deux entiers naturels q et s tels que
n = mq + s et s m − 1. Comme a
n = e, on en déduit a
s = (a
m )
−q , donc
a
s
∈ H , d’où s = 0 par minimalité de m, donc m divise n.
2) Comme d divise n, il existe m ∈ N tel que n = dm. Montrons que le sous-groupe
engendré par a
m est d’ordre d. On a (a
m )
d = e. S’il existe deux entiers k et j tels
que 0 j < k < d et a
km = a
jm , alors a
(k− j)m = e, or a est d’ordre n, donc
(k − j)m n, ce qui est absurde car k − j d − 1. Le sous-groupe engendré par
a
m est donc formé des d éléments distincts a
km pour 0 k d − 1. Inversement,
si H est un sous-groupe de G de cardinal d, l’étude menée à la première question
montre que H est engendré par a
n/d .
3) Plaçons nous dans le groupe additif Z/nZ. Soit x ∈ [[0 , n − 1]], l’élément x est
d’ordre d dans Z/nZ si et seulement si dx = 0 et ∀k ∈ [[1 , d − 1]], kx = 0. Cela
équivaut à l’existence de u ∈ [[1 , d − 1]] premier avec d tel que x =
n
d
u. Par
conséquent, Z/nZ possède autant d’éléments d’ordre d que d’entiers u compris
entre 1 et d − 1 qui sont premiers avec d, c’est-à-dire w(d). En partitionnant
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit