Exercice 1.4
Centrale MP 2007
Le groupe des permutations de {1, 2, 3} est-il cyclique ?
On observe d’abord qu’un groupe cyclique est nécessairement abélien.
Soient t la transposition qui échange 1 et 2 et t
celle qui échange 1 et 3. On a
(t◦t
)(1) = 3 et (t
◦t)(1) = 2. Comme les deux permutations t et t
ne commutent
pas, le groupe des permutations de {1, 2, 3} n’est pas abélien, donc a fortiori il n’est
pas cyclique.
Exercice 1.5
Montrer qu’un isomorphisme de groupes conserve l’ordre des éléments.
Soient f : G → G
un isomorphisme de groupes et a un élément de G d’ordre
n. Comme e
= f (e) = f (a
n ) = ( f (a))
n , on en déduit que f (a) est d’ordre fini,
divisant n.
Si f (a)
k = e
, alors f (a
k ) = e
donc a
k = e car f injective, d’où n divise k. Il en
résulte que f (a) est d’ordre n.
Exercice 1.6
Polytechnique MP 2006
Les groupes (Z/8Z, +) et (Z/2Z, +) × (Z/4Z, +) sont-ils isomorphes ?
Dans Z/8Z, 1 est d’ordre 8, alors qu’aucun élément de Z/2Z×Z/4Z n’est d’ordre 8,
car 4(x, y) = (0, 0) pour tout (x, y) ∈ Z/2Z × Z/4Z. D’après l’exercice précédent,
les deux groupes ne sont pas isomorphes.
Exercice 1.7
Mines-Ponts MP 2005
Donner deux groupes à 9 éléments non isomorphes.
Les groupes additifs (Z/9Z, +) et ((Z/3Z)
2 , +) conviennent car 1 est d’ordre 9 dans
le premier, alors que les éléments du second sont d’ordre 1 ou 3.
Exercice 1.8
Polytechnique MP 2005
Soient (G,·) un groupe et g un élément de G d’ordre n ∈ N
∗ . Calculer l’ordre de
g
m pour m ∈ N
∗ .