3) • Si p = 2, a
2
− a = a(a − 1) est un nombre pair, donc a
2
≡ a (mod 2).
• Supposons à présent p 3. Démontrons, par récurrence sur a ∈ N, la propriété
P a suivante : a
p
≡ a (mod p).
Initialisation : a = 0. On a bien 0
p = 0 ≡ 0 (mod p), donc P 0 est vraie.
Hérédité : Soit a ∈ N. Supposons P a vraie et montrons P a+1 .
(a + 1)
p
≡ a
p + 1
p (mod p) d’après la première question avec b = 1.
On en déduit avec P a que (a + 1)
p
≡ a + 1 (mod p).
En conclusion, a
p
≡ a (mod p) pour tout a ∈ N.
Si a ∈ Z
− , d’après ce qui précède (−a)
p
≡ −a (mod p). Comme p est impair,
on conclut que a
p
≡ a (mod p). En résumé, ∀a ∈ Z, a
p
≡ a (mod p).
• On déduit de ce qui précède que : a
a
p−1
− 1
≡ 0 (mod p), donc si p ne
divise pas a alors, comme p est premier, il est premier avec a et par théorème
de Gauss, p divise a
p−1
− 1. Ainsi, on a bien a
p−1
≡ 1 (mod p).
1.1.2 Sous-groupe engendré par une partie, groupes finis
Ce qu’il faut savoir
Pour les généralités sur les groupes, se reporter au livre de première année.
• Soient (G, ⊥) et (G
, ⊥
) deux groupes. On munit G × G
de la loi interne ∗
définie par (x, x
) ∗ (y, y
) = (x⊥y, x
⊥
y
). L’ensemble G × G
muni de la loi
∗ est un groupe, appelé produit des groupes G et G
.
• Soient (G,·) un groupe, A une partie non vide de G. On appelle sous-groupe
engendré par A le plus petit sous-groupe de G contenant A, c’est-à-dire l’intersection des sous-groupes de G contenant A. On le note gr( A).
• On a gr(A) = {a 1 a 2 · · · a p | p ∈ N
∗ , ∀i ∈ [[1 , p]], (a i ∈ A ou a
−1
i
∈ A)}.
• Si A est réduit à un élément a, le sous-groupe engendré par a est égal à
{a
k
| k ∈ Z}.
Par exemple, le groupe additif Z/nZ est engendré par 1.
• Un groupe est dit cyclique lorsqu’il est fini et engendré par un élément.
• Soit a ∈ Z. L’élément a engendre Z/nZ si et seulement si a est premier avec n.
• Soit (G,·) un groupe et a un élément de G. L’application f : Z −→ gr(a)
k −→ a
k
est un morphisme de groupes surjectif de (Z, +) dans (gr(a),·). On a deux cas
de figure :
◦ Si f est injective, alors gr(a) est isomorphe à Z.
◦ Sinon, le noyau de f est un sous-groupe de (Z, +), donc il est de la forme
nZ, où n ∈ N
∗ . L’entier n est le plus petit entier naturel non nul tel que
a
n = e, on l’appelle l’ordre de a. Le groupe engendré par a est cyclique,
égal à {a
k
| 0 k n − 1}. Il est isomorphe au groupe additif Z/nZ.
• Le groupe additif Z/nZ est isomorphe au groupe multiplicatif U n formé des
racines n
ièmes de l’unité dans C.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2
− a = a(a − 1) est un nombre pair, donc a
2
≡ a (mod 2).
• Supposons à présent p 3. Démontrons, par récurrence sur a ∈ N, la propriété
P a suivante : a
p
≡ a (mod p).
Initialisation : a = 0. On a bien 0
p = 0 ≡ 0 (mod p), donc P 0 est vraie.
Hérédité : Soit a ∈ N. Supposons P a vraie et montrons P a+1 .
(a + 1)
p
≡ a
p + 1
p (mod p) d’après la première question avec b = 1.
On en déduit avec P a que (a + 1)
p
≡ a + 1 (mod p).
En conclusion, a
p
≡ a (mod p) pour tout a ∈ N.
Si a ∈ Z
− , d’après ce qui précède (−a)
p
≡ −a (mod p). Comme p est impair,
on conclut que a
p
≡ a (mod p). En résumé, ∀a ∈ Z, a
p
≡ a (mod p).
• On déduit de ce qui précède que : a
a
p−1
− 1
≡ 0 (mod p), donc si p ne
divise pas a alors, comme p est premier, il est premier avec a et par théorème
de Gauss, p divise a
p−1
− 1. Ainsi, on a bien a
p−1
≡ 1 (mod p).
1.1.2 Sous-groupe engendré par une partie, groupes finis
Ce qu’il faut savoir
Pour les généralités sur les groupes, se reporter au livre de première année.
• Soient (G, ⊥) et (G
, ⊥
) deux groupes. On munit G × G
de la loi interne ∗
définie par (x, x
) ∗ (y, y
) = (x⊥y, x
⊥
y
). L’ensemble G × G
muni de la loi
∗ est un groupe, appelé produit des groupes G et G
.
• Soient (G,·) un groupe, A une partie non vide de G. On appelle sous-groupe
engendré par A le plus petit sous-groupe de G contenant A, c’est-à-dire l’intersection des sous-groupes de G contenant A. On le note gr( A).
• On a gr(A) = {a 1 a 2 · · · a p | p ∈ N
∗ , ∀i ∈ [[1 , p]], (a i ∈ A ou a
−1
i
∈ A)}.
• Si A est réduit à un élément a, le sous-groupe engendré par a est égal à
{a
k
| k ∈ Z}.
Par exemple, le groupe additif Z/nZ est engendré par 1.
• Un groupe est dit cyclique lorsqu’il est fini et engendré par un élément.
• Soit a ∈ Z. L’élément a engendre Z/nZ si et seulement si a est premier avec n.
• Soit (G,·) un groupe et a un élément de G. L’application f : Z −→ gr(a)
k −→ a
k
est un morphisme de groupes surjectif de (Z, +) dans (gr(a),·). On a deux cas
de figure :
◦ Si f est injective, alors gr(a) est isomorphe à Z.
◦ Sinon, le noyau de f est un sous-groupe de (Z, +), donc il est de la forme
nZ, où n ∈ N
∗ . L’entier n est le plus petit entier naturel non nul tel que
a
n = e, on l’appelle l’ordre de a. Le groupe engendré par a est cyclique,
égal à {a
k
| 0 k n − 1}. Il est isomorphe au groupe additif Z/nZ.
• Le groupe additif Z/nZ est isomorphe au groupe multiplicatif U n formé des
racines n
ièmes de l’unité dans C.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit