Chap. 11. Étude affine et métrique des courbes
En effectuant dans l’intégrale définissant le changement de variable t = tan u soit
u = Arctan t, on a du =
dt
1 + t 2 . Par ailleurs lorsque u varie de 0 à p/4, t varie de 0
à 1. Donc = 2
√
2
1
0
1 + t 2
1 − t 2
dt
1 + t 2 = 2
√
2
1
0
dt
√
1 − t 4
= 2
√
2 I .
8) On peut décomposer en série entière de rayon 1, grâce à la série du binôme, la
fonction S : t → (1 − t
4 )
−1/2 . On a
(1 − t
4 )
−1/2 = 1 +
+∞
n=1
−
1
2
−
1
2 − 1
· · ·
−
1
2 − n + 1
n!
(−t
4 )
n
= 1 +
+∞
n=1
1·3 · · · (2n − 1)
2 n n!
t
4n =
∞
n=0
(2n)!
2 2n (n!) 2 t
4n .
Notons S N (t) =
N
n=0
(2n)!
2 2n (n!) 2 t
4n . Comme la série entière est de rayon 1 la suite
(S N ) converge simplement sur l’intervalle [ 0, 1 [ vers la fonction continue S.
D’autre part |S N (t)| S(t) et la fonction S est intégrable sur [ 0, 1 [ .
Il résulte du théorème de convergence dominée que l’on peut intégrer la série terme
à terme. Donc
1
0
dt
√
1 − t 4
=
+∞
n=0
(2n)!
2 2n (n!) 2
t
4n+1
4n + 1
1
0
=
+∞
n=0
(2n)!
(4n + 1)2 2n (n!) 2 .
9) Par le même raisonnement que dans l’exercice 11.28, on trouve que l’équation polaire de la courbe H est r =
√
2
√
2 cos 2u
. On a alors x =
cos u
√
cos 2u
et
y =
sin u
√
cos 2u
, d’où l’on tire x
2
− y
2 = 1 . On obtient l’équation d’une hyperbole équilatère, et si un point de cette hyperbole est d’angle polaire u alors on
a nécessairement x =
cos u
√
cos 2u
et y =
sin u
√
cos 2u
. L’hyperbole est donc obtenue
entièrement.
Exercice 11.34
Mines-Ponts MP 2007
Soient a, b > 0 et F l’arc défini par x(t) = a sin
3 t et y(t) = b cos
3 t.
1) Calculer la longueur (a, b) de l’arc.
2) Donner le rayon de courbure de F et le lieu des centres de courbure.
1) La courbe obtenue se déduit de celle de l’astroïde (voir ex. 11.29) par une affinité
orthogonale. L’arc est symétrique par rapport aux axes et est constitué de quatre morceaux de même longueur. Un de ces morceaux est obtenu lorsque t décrit
0, p/2
.
En effectuant dans l’intégrale définissant le changement de variable t = tan u soit
u = Arctan t, on a du =
dt
1 + t 2 . Par ailleurs lorsque u varie de 0 à p/4, t varie de 0
à 1. Donc = 2
√
2
1
0
1 + t 2
1 − t 2
dt
1 + t 2 = 2
√
2
1
0
dt
√
1 − t 4
= 2
√
2 I .
8) On peut décomposer en série entière de rayon 1, grâce à la série du binôme, la
fonction S : t → (1 − t
4 )
−1/2 . On a
(1 − t
4 )
−1/2 = 1 +
+∞
n=1
−
1
2
−
1
2 − 1
· · ·
−
1
2 − n + 1
n!
(−t
4 )
n
= 1 +
+∞
n=1
1·3 · · · (2n − 1)
2 n n!
t
4n =
∞
n=0
(2n)!
2 2n (n!) 2 t
4n .
Notons S N (t) =
N
n=0
(2n)!
2 2n (n!) 2 t
4n . Comme la série entière est de rayon 1 la suite
(S N ) converge simplement sur l’intervalle [ 0, 1 [ vers la fonction continue S.
D’autre part |S N (t)| S(t) et la fonction S est intégrable sur [ 0, 1 [ .
Il résulte du théorème de convergence dominée que l’on peut intégrer la série terme
à terme. Donc
1
0
dt
√
1 − t 4
=
+∞
n=0
(2n)!
2 2n (n!) 2
t
4n+1
4n + 1
1
0
=
+∞
n=0
(2n)!
(4n + 1)2 2n (n!) 2 .
9) Par le même raisonnement que dans l’exercice 11.28, on trouve que l’équation polaire de la courbe H est r =
√
2
√
2 cos 2u
. On a alors x =
cos u
√
cos 2u
et
y =
sin u
√
cos 2u
, d’où l’on tire x
2
− y
2 = 1 . On obtient l’équation d’une hyperbole équilatère, et si un point de cette hyperbole est d’angle polaire u alors on
a nécessairement x =
cos u
√
cos 2u
et y =
sin u
√
cos 2u
. L’hyperbole est donc obtenue
entièrement.
Exercice 11.34
Mines-Ponts MP 2007
Soient a, b > 0 et F l’arc défini par x(t) = a sin
3 t et y(t) = b cos
3 t.
1) Calculer la longueur (a, b) de l’arc.
2) Donner le rayon de courbure de F et le lieu des centres de courbure.
1) La courbe obtenue se déduit de celle de l’astroïde (voir ex. 11.29) par une affinité
orthogonale. L’arc est symétrique par rapport aux axes et est constitué de quatre morceaux de même longueur. Un de ces morceaux est obtenu lorsque t décrit
0, p/2
.