11.3 Exercices d’approfondissement
verticale, et la courbe passe par l’origine pour t = p/4 en étant tangente au rayon
vecteur. On a le dessin suivant
6
-
√
2
4) On a r(u)
2 + r
(u)
2 =
2
cos 2u
. On en déduit en particulier que, pour les valeurs
de u telles que cos 2u > 0, on a la relation
ds
du
=
√
2
√
cos 2u
.
D’autre part x(u) = cos u
√
2 cos 2u et y(u) = sin u
√
2 cos 2u, donc
x
(u) =
√
2
− sin u
√
cos 2u + cos u
− sin 2u
√
cos 2u
= −
√
2
cos 2u sin u + sin 2u cos u
√
cos 2u
y
(u) =
√
2
cos u
√
cos 2u + sin u
− sin 2u
√
cos 2u
=
√
2
cos 2u cos u − sin 2u sin u
√
cos 2u
.
On a donc finalement x
(u) = −
√
2
sin 3u
√
cos 2u
et y
(u) =
√
2
cos 3u
√
cos 2u
.
(On remarque au passage que la courbe admet une tangente horizontale pour
u = p/6).
On a alors
→
T (u) = − sin 3u ı + cos 3u j , et
→
N (u) = −(cos 3u ı + sin 3u j) .
5) D’autre part, en posant a =
p
2
+ 3u, on a
→
T = cos a ı + sin a j , et il en résulte
que la courbure g(u) vaut
da
ds
=
da
du
du
ds
=
3
√
2
√
cos 2u .
6) Pour des raisons de symétrie de la courbe, l’aire limitée par la courbe est quatre
fois celle limitée par la courbe lorsque u varie de 0 à p/4 et l’axe des x. On obtient
alors A = 2
p/4
0
r(u)
2 du = 4
p/4
0
cos 2udu = 2
sin 2u
p/4
0
= 2 .
7) Toujours pour des raisons de symétrie, la longueur d’une boucle est donnée
par = 2
p/4
0
r(u) 2 + r (u) 2 du = 2
√
2
p/4
0
du
√
cos 2u
. Donc en utilisant la
formule cos 2u =
1 − tan u
1 + tan u
, on a = 2
√
2
p/4
0
1 + tan u
1 − tan u
du .
L’intégrale I converge d’après le critère de Riemann, puisque, au voisinage de 1,
(1 − t
4 )
−1/2 =
(1 + t
2 )(1 + t)(1 − t)
−1/2 ∼
1
2(1 − t) 1/2 .
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