Chap. 11. Étude affine et métrique des courbes
L’exercice suivant est la réunion de deux exercices concernant la lemniscate de
Bernoulli
Exercice 11.33
Mines-Ponts MP 2007+ Centrale MP 2006
Soient F et F
les points du plan de coordonnées respectives (1, 0) et (−1, 0).
On considère l’ensemble C des points M du plan tels que le produit des distance
M F · M F
vaille 1.
1) Déterminer une équation cartésienne de la courbe C.
2) Montrer que C a comme équation polaire r =
√
2 cos 2u.
3) Tracer C.
4) Déterminer le repère de Frenet de C.
5) Calculer la courbure aux points où elle est définie.
6) Calculer l’aire délimitée par la courbe C.
7) Calculer la longueur d’une boucle de C à l’aide de I =
1
0
dt
√
1 − t 4
.
8) Exprimer
1
0
dt
√
1 − t 4
comme somme d’une série.
9) Lorsque P décrit C privée de l’origine, déterminer le lieu H décrit par le point
M de la droite O P, vérifiant O P · O M =
√
2 .
1) Si M a pour coordonnées (x, y) on a M F
2 = (x −1)
2 + y
2 et M F
2 = (x +1)
2 + y
2 ,
ce qui donne l’équation cartésienne ((x − 1)
2 + y
2 )((x + 1)
2 + y
2 ) = 1 ou encore
(x
2 + y
2 )
2 = 2(x
2
− y
2 ) .
2) En posant x = r cos u et y = r sin u, on trouve r
4 = 2r
2 cos 2u , c’est-à-dire,
r = ±
√
2 cos 2u , ou r = 0.
Mais les points de coordonnées polaires (r, u) et (−r, u + p) étant les mêmes, il en
résulte que les courbes d’équation polaire r =
√
2 cos 2u et r = −
√
2 cos 2u sont
identiques, et comme elles contiennent l’origine, obtenue pour u = p/4, l’ensemble
C a comme équation polaire r =
√
2 cos 2u.
3) La fonction r est de période p, donc la courbe est symétrique par rapport à O.
La fonction r est paire, donc la courbe est symétrique par rapport à Ox. Il suffira
de l’étudier sur l’intervalle
0, p/2
. Dans cet intervalle, cos 2u est positif si et
seulement si u appartient à l’intervalle
0, p/4
et r est définie sur
0, p/4
uniquement. Pour u ∈
0, p/4
on a alors r
(u) = −
√
2
sin 2u
√
cos 2u
. La fonction r est
décroissante et varie de
√
2 à 0. Le point M(0) se trouve sur Ox avec une tangente
L’exercice suivant est la réunion de deux exercices concernant la lemniscate de
Bernoulli
Exercice 11.33
Mines-Ponts MP 2007+ Centrale MP 2006
Soient F et F
les points du plan de coordonnées respectives (1, 0) et (−1, 0).
On considère l’ensemble C des points M du plan tels que le produit des distance
M F · M F
vaille 1.
1) Déterminer une équation cartésienne de la courbe C.
2) Montrer que C a comme équation polaire r =
√
2 cos 2u.
3) Tracer C.
4) Déterminer le repère de Frenet de C.
5) Calculer la courbure aux points où elle est définie.
6) Calculer l’aire délimitée par la courbe C.
7) Calculer la longueur d’une boucle de C à l’aide de I =
1
0
dt
√
1 − t 4
.
8) Exprimer
1
0
dt
√
1 − t 4
comme somme d’une série.
9) Lorsque P décrit C privée de l’origine, déterminer le lieu H décrit par le point
M de la droite O P, vérifiant O P · O M =
√
2 .
1) Si M a pour coordonnées (x, y) on a M F
2 = (x −1)
2 + y
2 et M F
2 = (x +1)
2 + y
2 ,
ce qui donne l’équation cartésienne ((x − 1)
2 + y
2 )((x + 1)
2 + y
2 ) = 1 ou encore
(x
2 + y
2 )
2 = 2(x
2
− y
2 ) .
2) En posant x = r cos u et y = r sin u, on trouve r
4 = 2r
2 cos 2u , c’est-à-dire,
r = ±
√
2 cos 2u , ou r = 0.
Mais les points de coordonnées polaires (r, u) et (−r, u + p) étant les mêmes, il en
résulte que les courbes d’équation polaire r =
√
2 cos 2u et r = −
√
2 cos 2u sont
identiques, et comme elles contiennent l’origine, obtenue pour u = p/4, l’ensemble
C a comme équation polaire r =
√
2 cos 2u.
3) La fonction r est de période p, donc la courbe est symétrique par rapport à O.
La fonction r est paire, donc la courbe est symétrique par rapport à Ox. Il suffira
de l’étudier sur l’intervalle
0, p/2
. Dans cet intervalle, cos 2u est positif si et
seulement si u appartient à l’intervalle
0, p/4
et r est définie sur
0, p/4
uniquement. Pour u ∈
0, p/4
on a alors r
(u) = −
√
2
sin 2u
√
cos 2u
. La fonction r est
décroissante et varie de
√
2 à 0. Le point M(0) se trouve sur Ox avec une tangente