11.3 Exercices d’approfondissement
1) La courbe C 1 a pour équation x
2 + y
2 = x . C’est le cercle de centre (1/2, 0) et de
rayon 1/2.
2.a L’abscisse x du point d’intersection de la courbe et de la droite, est telle que
(1 + t
2 )
n x
2n = x
2n−1 d’où l’on tire, si x est non nul, x =
1
(1 + t 2 ) n et y =
t
(1 + t 2 ) n .
On obtient ainsi un paramétrage de la courbe (privée du point O obtenu seulement
lorsque t tend vers +∞).
2.b On a x
(t) = −
2nt
(1 + t 2 ) n+1 et y
(t) =
1 − (2n − 1)t
2
(1 + t 2 ) n+1 . Donc y
s’annule pour
t = ±
1
√
2n − 1
et x
ne s’annule pas pour ces valeurs. La courbe admet donc
une tangente horizontale pour les valeurs obtenues. Le point M n a comme coordonnées x n =
2n − 1
2n
n
et y n =
1
√
2n − 1
2n − 1
2n
n
. Alors comme la suite
1 −
1
2n
n
converge vers e
−1/2 , on en déduit que (x n ) converge vers e
−1/2 et
(y n ) vers 0. La suite (M n ) converge donc vers le point de coordonnées (e
−1/2 , 0) .
3.a En posant x = r cos u et y = r sin u, et en remplaçant dans l’équation cartésienne
de C n on obtient r
2n = r
2n−1 cos
2n−1 u , d’où l’on déduit l’équation polaire de C n :
r = f n (u) = cos
2n−1 u . (L’origine O est obtenue pour u = p/2 ).
3.b Notons M(u) le point de la courbe de coordonnées polaires (r, u) et ( u(u), v(u))
le repère orthonormal direct lié à l’angle u. On a r
(u) = −(2n − 1) cos
2n−2 u sin u .
Dans le repère ( u(u), v(u)) le vecteur de coordonnées (r
(u), r(u)) est, lorsque
r(u) = 0, un vecteur directeur de la tangente. En particulier, si u = 0, on obtient
v(0) = j et la tangente est orthogonale à l’axe Ox.
Comme la courbe passe par l’origine en u = p/2, elle est tangente à l’axe Oy en O.
3.c La fonction r est 2p−périodique, et comme r(u + p) = −r(u), la courbe est
parcourue deux fois sur une période. Il suffit de l’étudier sur
−p/2, p/2
. Comme
r est paire, la courbe est symétrique par raport à Ox. La fonction r décroit de 1 à 0,
lorsque u varie de 0 à p/2. Voici le graphe de la courbe lorsque n = 2 :
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