Exercice 11.31
Centrale MP 2007
Étudier la courbe d’équation polaire r : u →
cos u
sin u − cos u
.
Domaine de définition - Période - Réduction du domaine d’étude
La fonction r est de période p et est définie pour u = p/4 + kp, k ∈ Z. Donc
r(u + p) = r(u), et la courbe est symétrique par rapport à l’origine. On l’étudiera sur
l’ensemble I =
0, p/2
\ {p/4} et on complètera par la symétrie S 1 par rapport
à O.
Dérivée et tableau de variation
Pour u = p/4 modulo p, on obtient r
(u) = −
1
(sin u − cos u)
2
, et l’on a le tableau
de variation suivant :
t
r
r
−p/2
0
p/4
p/2
j
j
~
−
−
0
−1
−∞
+∞
0
On remarquera que la courbe passe par l’origine pour u = p/2 et est alors tangente
à l’axe Oy.
Asymptote
Lorsque u tend vers p/4, on a
Y (u) = r(u) sin
u −
p
4
=
cos u
sin u − cos u
√
2
2
(sin u − cos u) =
√
2
2
cos u,
donc cette expression tend vers a = 1/2 lorsque u tend vers p/4, et la courbe admet
une asymptote d’équation polaire r =
1
2 sin(u − p/4)
, ou d’équation cartésienne
y = x +
√
2/2.
Par ailleurs, en se plaçant dans le repère (O, → u (p/4), → v (p/4)) on trouve
Y (u)−a = r(u) sin
u −
p
4
−
1
2
=
√
2
2
cos u −
√
2
2
=
√
2
2
cos u − cos
p
4
.
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