Chap. 11. Étude affine et métrique des courbes
La courbe recoupe l’axe Oy pour u = p/2. On a r(p) = 1/2 et l’on obtient
r(p/2)/r
(p/2) = 1. La tangente à la courbe a un coefficient directeur égal à 1
dans le repère (O, u(p/2), v(p/2)), et donc à −1 dans le repère (O,, ı, , j).
Direction asymptotique
Pour étudier le comportement de la courbe au voisinage de −p/2, on va chercher la
limite de l’abscisse x(u) = r(u) cos u du point M(u) lorsque u tend vers −p/2. En
posant u = u − p/2, on obtient x(u) =
1 − sin u
1 − cos u
sin u =
1 − sin u
sin
u
2
cos
u
2
, et cette
expression tend vers l’infini lorsque u tend vers 0, c’est-à-dire lorsque u tend vers
−p/2 : on a une direction asymptotique dans la direction des y < 0. On peut préciser davantage l’allure de la courbe en cherchant un développement asymptotique
de x et de y au voisinage de −p/2. En utilisant encore u = u − p/2, on obtient
x(u) =
1
u
2 − 2u −
u
2
6
+ o(u
2 )
d’où x(u)
2 =
1
u 2
4 − 8u +
10u
2
3
+ o(u
2 )
et y(u) = −
2
u 2 +
2
u
+
5
6
+ o(1) . Alors y(u) +
x(u)
2
2
= −
2
u
+
5
2
+ o(1) et
y(u) +
x(u)
2
2
+ x(u) =
1
2
+ o(1) . Lorsque u tend vers −p/2, la courbe « se colle »
contre la parabole d’équation y = −x
2 /2 − x + 1/2 (parabole asymptote).
Remarque
L’expression y(u) +
x(u)
2
2
+ x(u) −
1
2
se simplifie et donne −
1
2
cos
2 u qui est
toujours négatif ou nul. La courbe C est en dessous de la parabole. De plus elle est
tangente à celle-ci au point de coordonnées (0, 1/2).
Tracé de la courbe
Voici le tracé de la courbe et de sa parabole asymptote :
-
6
1/2