6) On a x(t)y
(t) − y(t)x
(t) = 3 sin
2 t cos
2 t =
3
4
sin
2 2t =
3
8
(1 − cos 4t) . L’aire
cherchée vaut alors
1
2
2p
0
(x(t)y
(t)−y(t)x
(t)) dt =
3
16
2p
0
(1−cos 4t) dt =
3p
8
.
Exercice 11.30
CCP MP 2007
Étudier la courbe C d’équation polaire r : u →
1 − cos u
1 + sin u
.
Question de la rédaction : Montrer qu’il existe des constantes a, b, c telles que
y(u)−(ax(u)
2 +bx(u)+c) tende vers 0 lorsque u tend vers −p/2. Que représente
la parabole d’équation y = ax
2 + bx + c pour la courbe ?
Domaine de définition - Période - Réduction du domaine d’étude
La fonction r est définie pour u = −p/2 + 2kp, k ∈ Z. D’autre part elle est de
période 2p. On l’étudiera sur l’ensemble I = [ −p, p ] \ {−p/2}.
Dérivée et tableau de variation
Pour u = −p/2 modulo 2p, on obtient r
(u) =
1 + sin u − cos u
(1 + sin u) 2 . En transformant
le numérateur, on en déduit
1 + sin u − cos u = 2 sin
u
2
cos
u
2
+ 2 sin
2 u
2
= 2
√
2 sin
u
2
sin
u
2
+
p
4
, et l’on a le
tableau de variation suivant :
t
r
r
−p
−p/2
0
p
>
~
>
+
−
+
0
2
+∞ +∞
0
2
Puisque r s’annule en 0 sans changer de signe dans un voisinage de 0, on constate
que la courbe possède un point de rebroussement de première espèce à l’origine et
que la courbe est tangente à l’axe Ox en ce point.
Intersection avec les axes.
La courbe recoupe l’axe Ox pour u = p. On a r(p) = 2 et l’on obtient
r(p)/r
(p) = 1. La tangente à la courbe a un coefficient directeur égal à 1
dans le repère (O, u(p), v(p)) et donc également dans (O,, ı, , j).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit