Chap. 11. Étude affine et métrique des courbes
5.b En remarquant que sin
´p
4
=
´
√
2
2
et cos
´p
4
=
√
2
2
, on a
x =
√
2
2
sin 2t
√
2
2
sin t −
´
√
2
2
cos t
=
√
2
2
sin 2t sin
t −
´p
4
y =
√
2
2
sin 2t
√
2
2
cos t +
´
√
2
2
sin t
=
√
2
2
sin 2t cos
t −
´p
4
.
Alors, en posant u =
p
2
− t +
´p
4
on obtient
sin 2t = sin
p − 2u +
´p
2
= sin
2u −
´p
2
= −´ cos(2u) ,
et M appartient à (F) si et seulement si il existe u ∈ R tel que
x = −
´
√
2
2
cos 2u cos u et y = −
´
√
2
2
cos 2u sin u .
En prenant u = u lorsque ´ = −1, et u = u + p lorsque ´ = 1 on constate que
le point M appartient à la courbe (F ) si et seulement si un système de coordonnées
polaires (r, u) de M vérifie r =
√
2
2
cos 2u .
L’étude de la courbe se fait sur le même intervalle I =
0, p/4
que (A) et avec les
mêmes symétries. Sur I , la fonction r est décroissante. Lorsque u = 0, la courbe se
trouve au point de coordonnées (
√
2/2, 0) et y admet une tangente verticale, puisque
r
s’annule. La courbe passe par l’origine pour u = p/4 en étant tangente à la
première bissectrice.
6
-
1
A
F