2.b Si P = (X , Y ) est un point de la tangente à la courbe en M(t), on écrit que les vecteurs
− −−− →
M(t)P et
→
T sont colinéaires, ce qui se traduit par
X − cos
3 t − cos t
Y − sin
3 t
sin t
= 0
d’où sin t(X − cos
3 t) + cos t(Y − sin
3 t) = 0 . On obtient finalement pour équation
de la tangente : X sin t + Y cos t = sin t cos t .
2.c Puisque
− −− →
O M
= 3 sin t cos t
→
T , on en déduit que
3 sin t cos t
→
T = 3| sin t cos t| =
3
2
| sin 2t| .
En utilisant les symétries de la courbe, sa longueur est obtenue par
= 8
p/4
0
3
2
| sin 2t| dt = 12
p/4
0
sin 2t dt = 6
− cos 2t
p/4
0
= 6 .
3.a Les points A(t) et B(t) ont pour coordonnées respectives (cos t, 0) et (0, sin t) .
3.b On obtient alors
− −−−− →
A(t)B(t) = 1 . La longueur du segment [ A(t), B(t) ] est
donc constante.
4.a Le point P(t) est le barycentre de A(t) et B(t) affecté des coefficients a et b. les
coordonnées (X , Y ) sont donc données par X =
a cos t
a + b
, Y =
a sin t
a + b
.
Le point P(t) se trouve donc sur l’ellipse d’équation cartésienne
X
2
a 2 +
Y
2
b 2 =
1
(a + b) 2 .
Réciproquement, si le point de P de coordonnées (X , Y ) est un point de l’ellipse, il
existe un réel t tel que X =
a cos t
a + b
, Y =
a sin t
a + b
, et P est le barycentre de A(t) et
B(t) affecté des coefficients a et b donc appartient à (E).
La courbe (E) est donc l’ellipse toute entière.
5.a Soient t et u deux valeurs du paramètre pour lesquelles les tangentes sont orthogonales.
Les tangentes ont pour vecteurs directeurs respectifs
→
T (t) = − cos t ı + sin t j et
→
T (u) = − cos u ı + sin u j et les tangentes sont orthogonales si et seulement si ces
vecteurs sont orthogonaux ce qui donne la condition cos t cos u + sin t sin u = 0, ou
encore cos(u − t) = 0, et finalement u = t +
p
2
+ kp avec k ∈ Z .
On a alors sin u = (−1)
k cos t et cos u = (−1)
k+1 sin t . Donc le point M appartient à (F ) si et seulement si les coordonnées (x, y) de M sont solutions du système
x sin t + y cos t = sin t cos t
x cos t − y sin t = (−1)
k+1 sin t cos t
.
Ce système se résout facilement et donne
x = sin t cos t (sin t − (−1)
k cos t) et y = sin t cos t (cos t + (−1)
k sin t) .
En posant ´ = (−1)
k on obtient bien la condition demandée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
− −−− →
M(t)P et
→
T sont colinéaires, ce qui se traduit par
X − cos
3 t − cos t
Y − sin
3 t
sin t
= 0
d’où sin t(X − cos
3 t) + cos t(Y − sin
3 t) = 0 . On obtient finalement pour équation
de la tangente : X sin t + Y cos t = sin t cos t .
2.c Puisque
− −− →
O M
= 3 sin t cos t
→
T , on en déduit que
3 sin t cos t
→
T = 3| sin t cos t| =
3
2
| sin 2t| .
En utilisant les symétries de la courbe, sa longueur est obtenue par
= 8
p/4
0
3
2
| sin 2t| dt = 12
p/4
0
sin 2t dt = 6
− cos 2t
p/4
0
= 6 .
3.a Les points A(t) et B(t) ont pour coordonnées respectives (cos t, 0) et (0, sin t) .
3.b On obtient alors
− −−−− →
A(t)B(t) = 1 . La longueur du segment [ A(t), B(t) ] est
donc constante.
4.a Le point P(t) est le barycentre de A(t) et B(t) affecté des coefficients a et b. les
coordonnées (X , Y ) sont donc données par X =
a cos t
a + b
, Y =
a sin t
a + b
.
Le point P(t) se trouve donc sur l’ellipse d’équation cartésienne
X
2
a 2 +
Y
2
b 2 =
1
(a + b) 2 .
Réciproquement, si le point de P de coordonnées (X , Y ) est un point de l’ellipse, il
existe un réel t tel que X =
a cos t
a + b
, Y =
a sin t
a + b
, et P est le barycentre de A(t) et
B(t) affecté des coefficients a et b donc appartient à (E).
La courbe (E) est donc l’ellipse toute entière.
5.a Soient t et u deux valeurs du paramètre pour lesquelles les tangentes sont orthogonales.
Les tangentes ont pour vecteurs directeurs respectifs
→
T (t) = − cos t ı + sin t j et
→
T (u) = − cos u ı + sin u j et les tangentes sont orthogonales si et seulement si ces
vecteurs sont orthogonaux ce qui donne la condition cos t cos u + sin t sin u = 0, ou
encore cos(u − t) = 0, et finalement u = t +
p
2
+ kp avec k ∈ Z .
On a alors sin u = (−1)
k cos t et cos u = (−1)
k+1 sin t . Donc le point M appartient à (F ) si et seulement si les coordonnées (x, y) de M sont solutions du système
x sin t + y cos t = sin t cos t
x cos t − y sin t = (−1)
k+1 sin t cos t
.
Ce système se résout facilement et donne
x = sin t cos t (sin t − (−1)
k cos t) et y = sin t cos t (cos t + (−1)
k sin t) .
En posant ´ = (−1)
k on obtient bien la condition demandée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit