3. b Vérifier que la longueur du segment [ A(t), B(t) ] est constante.
4) Soit (a, b) ∈ R
2 tel que ab = 0 et a + b = 0. On considère le point P(t) du
plan tel que a
− −−−− →
P(t)A(t) + b
− −−−−→
P(t)B(t) = 0 .
4. a Exprimer en fonction de t les coordonnées de P(t).
4. b Déterminer une équation cartésienne de la courbe (E) décrite par P(t)
lorsque t varie. Quelle est la nature de cette courbe ?
5) On note (F) l’ensemble M des points du plan pour lesquels il existe deux
tangentes à (A) qui passent par M et qui soient orthogonales en M.
5. a Soit M un point du plan de coordonnées (x, y). Montrer que M appartient à (F) si et seulement si il existe (t, ´) ∈ R × {−1, 1} tel que
x = sin t cos t(sin t − ´ cos t)
y = sin t cos t(cos t + ´ sin t)
.
5. b En déduire que (F) admet r =
√
2
2
cos 2u comme équation polaire puis
représenter graphiquement (F ).
6) Calculer l’aire du domaine limité par la courbe (A).
1) Les fonctions x et y sont 2p−périodiques et l’on peut réduire l’étude à un intervalle d’amplitude 2p.
Comme x est paire et y est impaire, les points M(t) et M(−t) sont symétriques par
rapport à Ox et l’on peut réduire l’étude à [ 0, p ] .
On a aussi x(p − t) = −x(t) et y(p − t) = y(t). Les points M(p − t) et M(t) sont
symétriques par rapport à Oy et l’on peut réduire l’étude à
0, p/2
.
Enfin x(p/2 − t) = y(t) et y(p/2 − t) = x(t). Les points M(p/2 − t) et M(t)
sont symétriques par rapport à la première bissectrice et l’on peut réduire l’étude à
I =
0, p/4
.
Sur cet intervalle x
(t) = −3 sin t cos
2 t et y
(t) = 3 cos t sin
2 t, et pour t = 0, on
a
y
(t)
x (t)
= − tan t . Ce rapport à une limite nulle en 0, et en raison de la symétrie, le
point M(0) = (1, 0) sera un point de rebroussement de première espèce.
Alors par symétrie, la courbe admet des points singuliers pour t = kp/2 avec k
entier.
2.a En un point non singulier, on a
− −− →
O M
(t) = x
(t) ı + y
(t) j = 3 sin t cos t
→
T , et le
vecteur
→
T est unitaire. Donc
→
T est bien un vecteur unitaire tangent à (A) au point
M(t) de paramètre t.
Lorsque t = kp (k ∈ Z), on a
→
T = ± ı qui est bien tangent à la courbe, et de même
lorsque t = p/2 + kp, on a
→
T = ± j .
4) Soit (a, b) ∈ R
2 tel que ab = 0 et a + b = 0. On considère le point P(t) du
plan tel que a
− −−−− →
P(t)A(t) + b
− −−−−→
P(t)B(t) = 0 .
4. a Exprimer en fonction de t les coordonnées de P(t).
4. b Déterminer une équation cartésienne de la courbe (E) décrite par P(t)
lorsque t varie. Quelle est la nature de cette courbe ?
5) On note (F) l’ensemble M des points du plan pour lesquels il existe deux
tangentes à (A) qui passent par M et qui soient orthogonales en M.
5. a Soit M un point du plan de coordonnées (x, y). Montrer que M appartient à (F) si et seulement si il existe (t, ´) ∈ R × {−1, 1} tel que
x = sin t cos t(sin t − ´ cos t)
y = sin t cos t(cos t + ´ sin t)
.
5. b En déduire que (F) admet r =
√
2
2
cos 2u comme équation polaire puis
représenter graphiquement (F ).
6) Calculer l’aire du domaine limité par la courbe (A).
1) Les fonctions x et y sont 2p−périodiques et l’on peut réduire l’étude à un intervalle d’amplitude 2p.
Comme x est paire et y est impaire, les points M(t) et M(−t) sont symétriques par
rapport à Ox et l’on peut réduire l’étude à [ 0, p ] .
On a aussi x(p − t) = −x(t) et y(p − t) = y(t). Les points M(p − t) et M(t) sont
symétriques par rapport à Oy et l’on peut réduire l’étude à
0, p/2
.
Enfin x(p/2 − t) = y(t) et y(p/2 − t) = x(t). Les points M(p/2 − t) et M(t)
sont symétriques par rapport à la première bissectrice et l’on peut réduire l’étude à
I =
0, p/4
.
Sur cet intervalle x
(t) = −3 sin t cos
2 t et y
(t) = 3 cos t sin
2 t, et pour t = 0, on
a
y
(t)
x (t)
= − tan t . Ce rapport à une limite nulle en 0, et en raison de la symétrie, le
point M(0) = (1, 0) sera un point de rebroussement de première espèce.
Alors par symétrie, la courbe admet des points singuliers pour t = kp/2 avec k
entier.
2.a En un point non singulier, on a
− −− →
O M
(t) = x
(t) ı + y
(t) j = 3 sin t cos t
→
T , et le
vecteur
→
T est unitaire. Donc
→
T est bien un vecteur unitaire tangent à (A) au point
M(t) de paramètre t.
Lorsque t = kp (k ∈ Z), on a
→
T = ± ı qui est bien tangent à la courbe, et de même
lorsque t = p/2 + kp, on a
→
T = ± j .