Alors
A = 2
p/2
p/4
(1 + cos 4u − 2 cos 2u) du
= 2
u +
sin 4u
4
− sin 2u
p/2
p/4
= 2+
p
2
.
On a de même l’aire de la boucle de la courbe. Elle vaut
A = 2
p/4
0
(1 + cos 4u − 2 cos 2u) du
= 2
u +
sin 4u
4
− sin 2u
p/4
0
= 2−
p
2
.
3) • Soit M un point de C distinct de O situé sur la droite orientée faisant un angle u
avec Ox et soit P son image par l’inversion de pôle O et de puissance 2. On a donc
O M(u) =
cos 2u
cos u
et, puisque O M(u)O P(u) = 2, on obtient O P(u) =
2 cos u
cos 2u
, ce
qui donne l’équation polaire de H.
• On en déduit
x(u) =
2 cos
2 u
cos 2u
= 1 +
1
cos 2u
et y(u) =
2 cos u sin u
cos 2u
= tan 2u .
Alors
(x(u) − 1)
2 =
1
cos 2 2u
= 1 + tan
2 2u et (x(u) − 1)
2
− y(u)
2 = 1 .
La courbe H est donc incluse dans l’hyperbole équilatère d’équation cartésienne
(x − 1)
2
− y
2 = 1. Il est facile de vérifier que H est l’hyperbole complète, (le point
O de H est l’image des points à l’infini de C).
L’exercice suivant est la réunion de deux exercices concernant l’astroïde, donnés au
CCP PC 2007
Exercice 11.29
CCP PC 2007
Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé direct (O, , ı, , j), on considère la courbe (A) paramétrée par x(t) = cos
3 t et y(t) = sin
3 t .
1) Tracer la courbe (A). On commencera par mettre en évidence les différentes
symétries de (A) afin de réduire l’intervalle d’étude à
0, p/4
.
2. a Montrer que
→
T = − cos t ı + sin t j est un vecteur unitaire tangent à (A) au
point M(t) de paramètre t.
2. b En déduire une équation cartésienne de la tangente T t à (A) au point M(t).
2. c Calculer la longueur de la courbe (A).
3) Pour t /
∈ Z
p
2
, on note A(t) et B(t) les intersections respectives de T t avec
les axes Ox et Oy.
3. a Déterminer en fonction de t les coordonnées de A(t) et B(t). Vérifier que
les applications A et B se prolongent par continuité à R tout entier.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
A = 2
p/2
p/4
(1 + cos 4u − 2 cos 2u) du
= 2
u +
sin 4u
4
− sin 2u
p/2
p/4
= 2+
p
2
.
On a de même l’aire de la boucle de la courbe. Elle vaut
A = 2
p/4
0
(1 + cos 4u − 2 cos 2u) du
= 2
u +
sin 4u
4
− sin 2u
p/4
0
= 2−
p
2
.
3) • Soit M un point de C distinct de O situé sur la droite orientée faisant un angle u
avec Ox et soit P son image par l’inversion de pôle O et de puissance 2. On a donc
O M(u) =
cos 2u
cos u
et, puisque O M(u)O P(u) = 2, on obtient O P(u) =
2 cos u
cos 2u
, ce
qui donne l’équation polaire de H.
• On en déduit
x(u) =
2 cos
2 u
cos 2u
= 1 +
1
cos 2u
et y(u) =
2 cos u sin u
cos 2u
= tan 2u .
Alors
(x(u) − 1)
2 =
1
cos 2 2u
= 1 + tan
2 2u et (x(u) − 1)
2
− y(u)
2 = 1 .
La courbe H est donc incluse dans l’hyperbole équilatère d’équation cartésienne
(x − 1)
2
− y
2 = 1. Il est facile de vérifier que H est l’hyperbole complète, (le point
O de H est l’image des points à l’infini de C).
L’exercice suivant est la réunion de deux exercices concernant l’astroïde, donnés au
CCP PC 2007
Exercice 11.29
CCP PC 2007
Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé direct (O, , ı, , j), on considère la courbe (A) paramétrée par x(t) = cos
3 t et y(t) = sin
3 t .
1) Tracer la courbe (A). On commencera par mettre en évidence les différentes
symétries de (A) afin de réduire l’intervalle d’étude à
0, p/4
.
2. a Montrer que
→
T = − cos t ı + sin t j est un vecteur unitaire tangent à (A) au
point M(t) de paramètre t.
2. b En déduire une équation cartésienne de la tangente T t à (A) au point M(t).
2. c Calculer la longueur de la courbe (A).
3) Pour t /
∈ Z
p
2
, on note A(t) et B(t) les intersections respectives de T t avec
les axes Ox et Oy.
3. a Déterminer en fonction de t les coordonnées de A(t) et B(t). Vérifier que
les applications A et B se prolongent par continuité à R tout entier.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit