u
r
r
0
p/4
p/2
q
q
−
0
1
0
−∞
Asymptote
Lorsque u tend vers p/2, on a x(u) = r(u) cos u = cos 2u , et cette expression
tend vers −1. On a donc une asymptote verticale d’équation x = −1, et x(u) + 1 est
toujours positif, donc la courbe est à droite de son asymptote.
Tracé de la courbe
On trace l’arc de courbe obtenu lorsque u varie de 0 à p/2, puis on complète par la
symétrie par rapport à Ox.
6
-
−1
2) En raison de la symétrie, l’aire A du domaine compris entre la courbe et son
asymptote est le double de l’aire A 1 du domaine limité par l’arc de courbe obtenu
quand u varie de p/4 à p/2, l’asymptote et l’axe Ox.
L’aire se calcule par la formule A 1 =
p/2
p/4
y(t)x
(t) dt
.
On a x
(u) = −2 sin 2u, donc y(u)x
(u) = −2 sin 2u sin u
cos 2u
cos u
. On linéarise
facilement cette expression ce qui donne
y(u)x
(u) = −4 sin
2 u(2 cos
2 u − 1) = −2 sin
2 2u + 4 sin
2 u = 1 + cos 4u − 2 cos 2u .