Tracé de la courbe
-
6
2
Exercice 11.28
Strophoïde droite, d’après Centrale MP 2006
1) Étudier et tracer la courbe S définie en coordonnées polaires par r =
cos 2u
cos u
.
2) Calculer l’aire entre la courbe et l’asymptote et l’aire de la boucle de la courbe.
3) Question de la rédaction : On appelle inversion de pôle O et de puissance
l, la transformation géométrique qui à tout point M distinct de O associe le
point P situé sur la droite O M et tel que O P · O M = l .
Trouver l’équation polaire de l’image H de S dans l’inversion de pôle O et de
puissance 2. En déduire l’équation cartésienne puis la nature de H.
1) Domaine de définition - Période - Réduction du domaine d’étude
La fonction est de période 2p. Mais on constate que r(p + u) = −r(u). La courbe
est donc parcourue deux fois sur une période. On l’étudie sur un intervalle de
longueur p.
La fonction r n’est pas définie si u = p/2 + kp avec k entier. D’autre part
on a r(−u) = r(u). On choisit donc I 0 =
−p/2, p/2
comme intervalle
d’étude. L’application : F 1 : t → −t est une bijection de I 1 =
0, p/2
sur
I
1 =
−p/2, 0
, et la courbe est symétrique par rapport Ox. On l’étudie sur I 1 , et
on complètera par la symétrie S 1 par rapport à Ox.
Dérivée et tableau de variation
On obtient
r
(u) =
−2 cos u sin 2u + cos 2u sin u
cos 2 u
= −
sin u(2 cos
2 u + 1)
cos 2 u
,
d’où le tableau de variation :
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit