Chap. 11. Étude affine et métrique des courbes
La fonction r est définie sauf en 0.
Dérivée et tableau de variation
On a r
(u) =
2e
u
(1 − e u ) 2 , et r
est toujours positive. On obtient le tableau de variation
suivant :
u
r
r
−∞
0
+ ∞
>
>
+
+
2
+∞
−∞
0
Étude en −∞
Lorsque u tend vers −∞, alors r(u) tend vers 2. La courbe s’approche du cercle
de centre O et de rayon 2 (cercle asymptote). Comme r > 2 quand u < 0, la
courbe possède une branche spirale qui s’enroule autour du cercle. Elle coupe le
cercle lorsque r(u) =
2
1 − e u = −2, c’est-à-dire lorsque u = ln 2.
Étude en +∞
Lorsque u tend vers +∞, alors r(u) tend vers 0. La courbe possède une branche
spirale qui s’enroule autour de l’origine (point asymptote).
Asymptote
On a y(u) = r(u) sin u =
2 sin u
1 − e u . En utilisant un développement limité en zéro, on
obtient y(u) =
2u + o(u
2 )
−u −
u 2
2 + o(u 2 )
= −2
1 −
u
2
+ o(u) = −2 + u + o(u) .
Cette expression tend vers −2 lorsque u tend vers zéro. La courbe admet donc
l’asymptote horizontale d’équation y = −2. La différence y(u) + 2 est du signe
de u. La courbe est donc au-dessus de son asymptote lorsque u tend vers 0
+ , et en
dessous lorsque u tend vers 0
− .
Points doubles
Il est facile de voir que l’équation r(u + 2kp) = r(u), avec k ∈ Z
∗ , n’a pas de
solution. Par contre la courbe possède une infinité de points doubles, obtenus pour
des valeurs u k telles que r(u k + (2k + 1)p) = −r(u k ) avec k ∈ Z. c’est-à-dire telles
que 1−e
u k +(2k+1)p = e
u k −1. Cette équation est équivalente à e
u k
1 + e
(2k+1)p
= 2,
donc à u k = ln 2 − ln
1 + e
(2k+1)p
. Remarquons que lorsque k tend vers +∞,
la suite (u −k ) admet ln 2 pour limite. On retrouve la valeur de u donnant le point
d’intersection de la courbe et du cercle asymptote.