ce qui donne y(t) =
u
2
2
−
u
3
4
+ o(u
3 ) . On a donc
− − →
O M(t) =
− − →
O M
p
2
+
t −
p
2
2 − →
U 2 +
t −
p
2
3 − →
U 3 + o
t −
p
2
3
,
où
− →
U 2 = −
1
2
ı +
1
2
j et
− →
U 3 = −
1
4
j . La courbe admet un point de rebroussement
de première espèce, au point (1, 0), et en son symétrique (−1, 0).
Points d’inflexion
Le tracé de la courbe fait apparaître deux points d’inflexion. Une condition nécessaire pour avoir un point d’inflexion en un point de paramètre t est que les vecteurs
− − →
O M
(t) et
− − →
O M
(t) soient colinéaires, ce qui se traduit par la condition
x
(t)y
(t) − y
(t)x
(t) = 0, où encore, lorsque x
(t) = 0, par la condition
(y
/x
)
(t) = 0 .
On a
y
(t)
x (t)
=
sin t(cos t − 4)
(2 − cos t) 2 , et en dérivant cette expression, on obtient
y
x
(t) =
3(2 − 3 cos t)
(2 − cos t) 3 . Cette expression s’annule pour t = ± Arccos(2/3), et
les deux points d’inflexion sont :
√
5
3
,
1
3
et son symétrique par raport à Oy.
Tracé de la courbe
On trace l’arc de courbe obtenu lorsque t varie de 0 à p, puis on complète par la
symétrie S 1 .
-
6
1
Exercice 11.27
Étudier et tracer la courbe définie en coordonnées polaires par r(u) =
2
1 − e u .
Déterminer en particulier, l’asymptote et les points doubles. Que se passe-t-il
lorsque u tend vers −∞ ? vers +∞ ?
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