Exercice 11.26
Étudier et tracer la courbe représentative de la fonction f définie par
f (t) =
sin t ,
cos
2 t
2 − cos t
. En particulier, on étudiera les points singuliers et on
déterminera les points d’inflexion.
Réduction du domaine d’étude
Les fonctions x et y sont définies sur R et de périodes 2p. Si l’on veut utiliser la parité
des fonctions, on prend alors l’intervalle I 0 = [ −p, p ] comme intervalle d’étude.
L’application F 1 : t → −t est une bijection de I 1 = [ 0, p ] sur I
1 = [ −p, 0 ] , et
l’on a x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t) . La courbe est symétrique par rapport à Oy.
On l’étudie sur I 1 , et on complètera par la symétrie S 1 par rapport à Oy.
Dérivées et tableau de variation
On obtient x
(t) = cos t et y
(t) =
sin t cos t(cos t − 4)
(2 − cos t) 2
. La fonction x
s’annule
dans I 1 en p/2 et la fonction y
en 0, p/2 et p. On obtient facilement le tableau de
variation suivant :
t
x
x
y
y
y
/x
0
p/2
p
+
−
0
0
0
0
−
+
0
−1
0
0
1
0
0
1
3
1
>
~
~
>
Points singuliers
La courbe présente un point singulier en t = p/2. Pour étudier sa nature, on pose
u = t − p/2. Alors x(t) = cos u = 1 −
u
2
2
+ o(u
3 ) , et
y(t) =
sin
2 u
2 + sin u
=
u
2 + o(u
3 )
2 + u + o(u)
=
u
2
2
1 + o(u)
1 +
u
2
+ o(u)
=
u
2
2
1 −
u
2
+ o(u)
,