On obtient trois valeurs possibles de S, donc trois couples (S, P) possibles :
(0, 0), (−2, 1), (−1, −1/2) ,
qui sont bien solutions du système comme on le vérifie facilement.
Les nombres t 1 et t 2 sont alors solutions de l’équation t
2
− St + P = 0. On étudie les
trois cas obtenus.
(i) Lorsque S = P = 0, l’équation se réduit à t
2 = 0, et admet une racine double
t 1 = t 2 = 0. On n’a donc pas de point double, mais on retrouve un point singulier.
(ii) Lorsque S = −2 et P = 1, l’équation t
2 + 2t + 1 = 0 admet encore une racine
double t = −1, et l’on obtient l’autre point singulier.
(iii) Lorsque S = −1 et P = −1/2, le trinôme t
2 + t − 1/2 a un discriminant
strictement positif. Il possède deux racines réelles distinctes et l’on aura bien un
point double dans ce cas. Plutôt que de calculer x(t 1 ) et y(t 1 ), on va utiliser le fait
que, si t désigne un des nombres t 1 ou t 2 , on a alors 2t
2 + 2t − 1 = 0.
En effectuant la division euclidienne de x(t) par ce polynôme, on obtient
x(t 1 ) = x(t 2 ) = 2t
3 + 3t
2 = (2t
2 + 2t − 1)
t +
1
2
+
1
2
=
1
2
y(t 1 ) = y(t 2 ) = 3t
4 + 4t
3 = (2t
2 + 2t − 1)
3t
2
2
+
t
2
+
1
4
+
1
4
=
1
4
.
Le point double est donc le point de coordonnées
1
2
,
1
4
.
Intersection avec les axes
(i) Intersection avec Ox. On l’obtient lorsque y(t) = 0, c’est-à-dire pour t = −4/3,
et dans ce cas y(t) = 16/27.
(ii) Intersection avec Oy. On l’obtient lorsque x(t) = 0, c’est-à-dire pour t = −3/2,
et dans ce cas y(t) = 27/16.
Tracé de la courbe
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1
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