Chap. 11. Étude affine et métrique des courbes
Branches paraboliques
Lorsque t tend vers ±∞, y(t) tend vers +∞, et y(t)/x(t) tend vers l’infini. La courbe
admet deux branches paraboliques dans la direction des y positifs. (L’arc de courbe
« ressemble » à des branches de paraboles d’axes parallèles à Oy).
Points singuliers
La courbe admet des points singuliers pour t = 0 et t = −1.
• Pour t = 0, le limite en zéro, du rapport
y(t) − y(0)
x(t) − x(0)
=
3t
2 + 4t
2t + 3
est nulle. (On
peut aussi regarder la limite de y
(t)/x
(t) = 2t). La courbe est donc tangente en O à
l’axe des x, et le tableau de variation indique qu’il y aura un point de rebroussement
de première espèce pour cette valeur.
• Pour t = −1, la nature du point de la courbe correspondant n’est plus évidente.
Plutôt que d’effectuer un développement limité, on préférera ici calculer les dérivées
successives en −1. On a
x
(t) = 6(2t + 1) et y
(t) = 12t(3t + 2) , puis x
(t) = 12 et y
(t) = 24(3t + 1) .
Alors
− − →
O M(t) =
− − →
O M(−1) + (t + 1)
2 − →
U 2 + (t + 1)
3 − →
U 3 + o((t + 1)
3 ) , où
− →
U 2 =
1
2!
− −− →
O M
(−1) =
1
2
(x
(−1) ı + y
(−1) j) = −3 ı + 6 j ,
− →
U 3 =
1
3!
−−−→
O M
(−1) =
1
6
(x
(−1) ı + y
(−1) j) = 2 ı − 8 j .
Les vecteurs
− →
U 2 et
− →
U 3 étant linéairement indépendants, on en déduit que l’on a de
nouveau un point de rebroussement de première espèce en t = −1.
La tangente à la courbe au point (x(−1), y(−1)) = (1, −1) a pour vecteur directeur
le vecteur
− →
U 2 donc pour coefficient directeur −2, ce que l’on obtient également en
calculant la limite de y
(t)/x
(t) en −1.
Point double
Le tracé de la courbe laisse apparaître un point double. Pour le déterminer on
cherche deux valeurs distinctes t 1 et t 2 du paramètre, telles que x(t 1 ) = x(t 2 ) et
y(t 1 ) = y(t 2 ) . L’équation x(t 1 ) − x(t 2 ) = 0 donne 2(t
3
1 − t
3
2 ) + 3(t
2
1 − t
2
2 ) = 0 , et en
simplifiant par t 1 − t 2 , on obtient, 2(t
2
1 + t 1 t 2 + t
2
2 ) + 3(t 1 + t 2 ) = 0 .
Le membre de gauche peut s’exprimer en fonction de S = t 1 + t 2 et P = t 1 t 2 . En
effet t
2
1 + t 1 t 2 + t
2
2 = (t 1 + t 2 )
2
− t 1 t 2 = S
2
− P ,
et donc 2(t
2
1 + t 1 t 2 + t
2
2 ) + 3(t 1 + t 2 ) = 2(S
2
− P) + 3S .
On obtient 2(S
2
− P) + 3S = 0 , c’est-à-dire 2P = 2S
2 + 3S .
L’équation y(t 1 ) − y(t 2 ) = 0 conduit, par un procédé analogue à
3(t 1 + t 2 )(t
2
1 + t
2
2 ) + 4(t
2
1 + t 1 t 2 + t
2
2 ) = 0 , puis à 3S(S
2
− 2P) + 4(S
2
− P) = 0 , et
finalement à 2P(3S + 2) = 3S
3 + 4S
2 .
Le système de départ, est donc équivalent au système
2P = 2S
2 + 3S
2P(3S + 2) = 3S
3 + 4S
2
En remplaçant dans la deuxième équation 2P par son expression tirée de la première,
il vient (2S
2 + 3S)(3S + 2) = 3S
3 + 4S
2 , ce qui donne S(S
2 + 3S + 2) = 0 .
Branches paraboliques
Lorsque t tend vers ±∞, y(t) tend vers +∞, et y(t)/x(t) tend vers l’infini. La courbe
admet deux branches paraboliques dans la direction des y positifs. (L’arc de courbe
« ressemble » à des branches de paraboles d’axes parallèles à Oy).
Points singuliers
La courbe admet des points singuliers pour t = 0 et t = −1.
• Pour t = 0, le limite en zéro, du rapport
y(t) − y(0)
x(t) − x(0)
=
3t
2 + 4t
2t + 3
est nulle. (On
peut aussi regarder la limite de y
(t)/x
(t) = 2t). La courbe est donc tangente en O à
l’axe des x, et le tableau de variation indique qu’il y aura un point de rebroussement
de première espèce pour cette valeur.
• Pour t = −1, la nature du point de la courbe correspondant n’est plus évidente.
Plutôt que d’effectuer un développement limité, on préférera ici calculer les dérivées
successives en −1. On a
x
(t) = 6(2t + 1) et y
(t) = 12t(3t + 2) , puis x
(t) = 12 et y
(t) = 24(3t + 1) .
Alors
− − →
O M(t) =
− − →
O M(−1) + (t + 1)
2 − →
U 2 + (t + 1)
3 − →
U 3 + o((t + 1)
3 ) , où
− →
U 2 =
1
2!
− −− →
O M
(−1) =
1
2
(x
(−1) ı + y
(−1) j) = −3 ı + 6 j ,
− →
U 3 =
1
3!
−−−→
O M
(−1) =
1
6
(x
(−1) ı + y
(−1) j) = 2 ı − 8 j .
Les vecteurs
− →
U 2 et
− →
U 3 étant linéairement indépendants, on en déduit que l’on a de
nouveau un point de rebroussement de première espèce en t = −1.
La tangente à la courbe au point (x(−1), y(−1)) = (1, −1) a pour vecteur directeur
le vecteur
− →
U 2 donc pour coefficient directeur −2, ce que l’on obtient également en
calculant la limite de y
(t)/x
(t) en −1.
Point double
Le tracé de la courbe laisse apparaître un point double. Pour le déterminer on
cherche deux valeurs distinctes t 1 et t 2 du paramètre, telles que x(t 1 ) = x(t 2 ) et
y(t 1 ) = y(t 2 ) . L’équation x(t 1 ) − x(t 2 ) = 0 donne 2(t
3
1 − t
3
2 ) + 3(t
2
1 − t
2
2 ) = 0 , et en
simplifiant par t 1 − t 2 , on obtient, 2(t
2
1 + t 1 t 2 + t
2
2 ) + 3(t 1 + t 2 ) = 0 .
Le membre de gauche peut s’exprimer en fonction de S = t 1 + t 2 et P = t 1 t 2 . En
effet t
2
1 + t 1 t 2 + t
2
2 = (t 1 + t 2 )
2
− t 1 t 2 = S
2
− P ,
et donc 2(t
2
1 + t 1 t 2 + t
2
2 ) + 3(t 1 + t 2 ) = 2(S
2
− P) + 3S .
On obtient 2(S
2
− P) + 3S = 0 , c’est-à-dire 2P = 2S
2 + 3S .
L’équation y(t 1 ) − y(t 2 ) = 0 conduit, par un procédé analogue à
3(t 1 + t 2 )(t
2
1 + t
2
2 ) + 4(t
2
1 + t 1 t 2 + t
2
2 ) = 0 , puis à 3S(S
2
− 2P) + 4(S
2
− P) = 0 , et
finalement à 2P(3S + 2) = 3S
3 + 4S
2 .
Le système de départ, est donc équivalent au système
2P = 2S
2 + 3S
2P(3S + 2) = 3S
3 + 4S
2
En remplaçant dans la deuxième équation 2P par son expression tirée de la première,
il vient (2S
2 + 3S)(3S + 2) = 3S
3 + 4S
2 , ce qui donne S(S
2 + 3S + 2) = 0 .