On peut se limiter à ´ = 1, car le cas les courbes obtenues dans le cas ´ = −1
se ramènent à celles obtenues dans le cas ´ = 1 par symétrie centrale. Alors
x(s) =
ds
1 +
s 2
a 2
et y(s) =
s
a ds
1 +
s 2
a 2
.
Pour obtenir x et y il est préférable de changer de paramètre en prenant s = a sh t,
donc ds = a ch tdt. Alors
X (t) = x(a sh t) =
adt = at + b et Y (t) = y(a sh t) =
a sh tdt = a ch t + c .
On peut prendre b = c = 0. Les autres courbes sont obtenues par translation à partir
de ce cas particulier. On trouve alors la chainette d’équation Y = a ch
X
a
.
11.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 11.25
Étudier et tracer la courbe représentative de la fonction f définie par
f (t) = (2t
3 + 3t
2 , 3t
4 + 4t
3 ). En particulier, on étudiera les points singuliers et le
point double.
Dérivées et tableau de variation
Les fonctions x et y sont définies sur R. On a immédiatement x
= 6t(t + 1) et
y
(t) = 12t
2 (t + 1) et l’on obtient le tableau de variation suivant :
t
x
x
y
y
y
/x
−∞
−1
0
+ ∞
>
~
>
~
1
1
+
−
+
0
0
−∞
1
0
+∞
+∞
−1
0
+∞
−
+
+
0
0
−2
0