Chap. 11. Étude affine et métrique des courbes
La fonction r étant de période 2p, on limite l’étude à [ 0, 2p ] .
On a r
(u) = a sin u, donc r(u)
2 + r
(u)
2 = 2a
2 (1 − cos u) = 4a
2 sin
2 u
2
·
Cette expression est nulle en 0 et 2p (point de rebroussement). Dans la suite
on se limite à l’intervalle ] 0, 2p [ . Sur cet intervalle, sin
u
2
est positif, et donc
ds
du
=
− −− →
O M
(t) = 2a sin
u
2
.
En partant de x(u) = a(1 − cos u) cos u et y(u) = a(1 − cos u) sin u on obtient
x
(u) = a(− sin u + sin 2u) = 2a sin
u
2
cos
3u
2
,
y
(u) = a(cos u − cos 2u) = 2a sin
u
2
sin
3u
2
,
d’où
→
T (u) = cos
3u
2
ı + sin
3u
2
j , et donc, en posant a = 3u/2 , on trouve
→
T = cos a ı + sin a j . Ainsi g(u) =
da
du
du
ds
=
3
4a sin
u
2
.
Exercice 11.24
Centrale PC 2006
Soit a un réel strictement positif. Déterminer les courbes telles que R(s) = a+s
2 /a,
où s désigne l’abscisse curviligne et R(s) le rayon de courbure.
Remarquons qu’un tel problème est invariant par les isométries conservant l’orientation (rotations, symétries centrales, translations).
On a x
(s) = cos a(s) , y
(s) = sin a(s) , et a
(s) = 1/R(s).
L’équation différentielle a
(s) =
1
R(s)
=
1
a
1
1 +
s 2
a 2
a pour solution
a(s) = Arctan
s
a
+ a 0 .
On va chercher les courbes obtenues lorsque a 0 = 0. Les autres sont obtenues à
partir de celles-ci par rotation.
On a cos
2 Arctan
s
a
=
1
1 + tan 2 Arctan
s
a
=
1
1 +
s 2
a 2
, donc, en posant ´ = ±1,
x
(s) = cos Arctan
s
a
=
´
1 +
s 2
a 2
et
y
(s) = sin Arctan
s
a
= cos Arctan
s
a
tan Arctan
s
a
=
´
s
a
1 +
s 2
a 2
.