11.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation
1) Pour tout t ∈ R, on a x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t). La courbe est donc symétrique par rapport à Oy. On a aussi x
(t) = th
2 t et y
(t) = −
sh t
ch
2 t
. Sur [ 0, +∞ [
la fonction x est croissante et varie de 0 à +∞, et la fonction y est décroissante et
varie de 1 à 0. La courbe admet donc l’axe Ox comme asymptote horizontale.
Comme x
(0) = y
(0) = 0, la courbe admet un point singulier au point
M(0) = (0, 1). Le rapport
y
(t)
x (t)
= −
1
sh t
tend vers −∞ quand t tend vers 0
et la courbe admet l’axe Oy pour tangente verticale en ce point, et puisque la courbe
est symétrique par rapport à Oy, le point M(0) est un point de rebroussement de
première espèce.
6
-
1
2) On a x
(t)
2 + y
(t)
2 = th
4 t +
sh
2 t
ch
4 t
= th
2 t . Donc, en notant ´(t) le signe de t qui
est aussi le signe de th t et de sh t
→
T (t) = ´(t)
th t ı −
1
ch t
j
, et
→
N (t) = ´(t)
1
ch t
ı + th t j
=
´(t)
ch t
( ı + sh t j) .
On a =
ds
dt
=
x (t) 2 + y (t) 2 = | th t| , puis,
d
→
T
ds
=
dt
ds
d
→
T
dt
=
´(t)
| th t|
1
ch
2 t
ı +
sh t
ch
2 t
j
=
1
sh t ch t
( ı + sh t j) .
Mais, on a aussi
d
→
T
ds
=
1
R
→
N =
1
R
´(t)
ch t
( ı + sh t j) .
Alors en identifiant les deux expressions de
d
→
T
ds
, on en déduit que R(t) = | sh t| .
3) On a donc R(t)
→
N (t) = th t ( ı + sh t j) , et on en déduit
− →
O I (t) =
− − →
O M(t) + R(t)
→
N (t) = t ı + ch t j .
La courbe obtenue a donc pour équation cartésienne y = ch x.
Exercice 11.23
Mines-Ponts MP 2005
Calculer la courbure g le long de la courbe C d’équation polaire
r = a(1 − cos u)(a > 0)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit