En un point birégulier M(s) on appelle courbure le nombre g(s) = a
(s). Ce
nombre n’est pas nul, et on appelle rayon de courbure le nombre R(s) = 1/g(s).
On a alors les formules de Frenet
→
T
(s) = g(s)
→
N (s) ,
→
N
(s) = −g(s)
→
T (s) .
Comment calculer la courbure g en un point d’une courbe de paramétrage
quelconque
Les formules permettant un calcul direct n’étant pas au programme, on adoptera
une des deux techniques suivantes, en tenant compte dans les deux cas, du fait
que
dt
ds
=
1
x (t) 2 + y (t) 2
:
– lorsque l’on peut mettre facilement
→
T (t) sous la forme cos a(t) ı + sin a(t) j ,
on utilise la relation g(t) =
da
ds
=
da
dt
dt
ds
(Voir ex. 11.23),
– on utilise la relation
d
→
T
ds
= g
→
N en écrivant
d
→
T
ds
=
dt
ds
d
→
T
dt
(Voir ex. 11.22).
Notions hors programme utiles
Bien que les notions suivantes ne soient pas au programme, elles sont parfois
employées dans les exercices d’oraux. Il peut être utile de les connaître.
Soit f un arc de classe C
k (k 2) .
– On appelle centre de courbure au point de paramètre t le point V(t) défini
par
− −−− →
OV(t) =
− −−− →
O M(t) + R(t)
− − →
N (t).
– Le cercle de centre V(t) et de rayon |R(t)| est appelé cercle osculateur au point
M(t).
– L’ensemble des centres de courbure est (en général) une courbe C 1 appelée
développée de la courbe C.
Exercice 11.22
Développée de la tractrice CCP PC 2006
Dans le plan muni du repère orthonormé (O, , ı, , j), on considère la courbe paramétrique :
x = t − th t
y =
1
ch t
t ∈ R .
1) Donner rapidement l’allure de la courbe.
2) Déterminer le rayon de courbure R(t) en tout point M(t) de la courbe.
3) Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des points I (t) définis par
la relation
−→
I M(t) = R(t)
→
N (t) où
→
N (t) désigne le vecteur normal au point
M(t) (le point I (t) est le centre de courbure).