On a x
(t) = (k + 1)(− sin t + sin(k + 1)t) et y
(t) = (k + 1)(cos t − cos(k + 1)t), donc
x
(t)
2 + y
(t)
2 = 2(k + 1)
2 (1 − (sin t sin(k + 1)t + cos t cos(k + 1)t))
= 2(k + 1)
2 (1 − cos kt) = 4(k + 1)
2 sin
2 kt
2
.
On a donc =
2p
0
2(k + 1)
sin
kt
2
dt . Mais la fonction intégrée est de période
2p/k, donc la courbe a pour longueur
= k
2p/k
0
2(k + 1) sin
kt
2
dt = 4(k + 1)
− cos
kt
2
2p/k
0
= 8(k + 1) .
Exercice 11.20
Calculer la longueur (u 0 ) de l’arc de spirale logarithmique d’équation polaire
r = e
−bu , où b > 0, lorsque u ∈ [ 0, u 0 ] .
Qu’obtient-on lorsque u 0 tend vers +∞ ?
0n a r
(u) = −be
−bu , donc r(u)
2 + r
(u)
2 = (1 + b
2 )e
−2bu . Alors
(u 0 ) =
u 0
0
√
1 + b 2 e
−bu du =
√
1 + b 2
b
− e
−bu
u 0
0
=
√
1 + b 2
b
(1 − e
−bu 0 ) .
Lorsque u 0 tend vers +∞, cette expression a pour limite (∞) =
√
1 + b 2
b
. La
branche de spirale logarithmique qui s’enroule autour de l’origine a une longueur
finie.
Exercice 11.21
Soit a > 0. Calculer la longueur (a) de l’arc de courbe de R
3 paramétré par
x(t) = t cos t, y(t) = t sin t, z(t) =
2
√
2
3
t
3/2 lorsque t varie de 0 à a .
On a x
(t) = cos t − t sin t, y
(t) = sin t + t cos t, z
(t) =
√
2t , d’où
x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 =
√
1 + t 2 + 2t = t + 1 .
Alors (a) =
a
0
(t + 1) dt =
a
2
2
+ a .
11.1.7 Courbure - Formules de Frenet
Ce qu’il faut savoir
Soit f un arc de classe C
k (k 2), paramétré par l’abscisse curviligne s, c’est-àdire tel que
− − →
O M
(s) =
→
T (s) , x
(s) = cos a(s) , y
(s) = sin a(s) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit