Exercice 11.17
Trouver un paramétrage par l’abscisse curviligne de la courbe d’équation polaire
r =
1
2
sin
2 u
2
pour u ∈ [ 0, 2p ] .
On a r
(u) =
1
2
sin
u
2
cos
u
2
, donc
− − →
O M
(u)
2 =
1
4
sin
2 u
2
. Si, pour u ∈ [ 0, 2p ] ,
l’on pose s =
u
p
− − →
O M
(t) dt =
u
p
1
2
sin
t
2
dt = − cos
u
2
, alors s varie
de −1 à 1, et on obtient r =
1
2
1 − cos
2 u
2
=
1
2
(1 − s
2 ) . Par ailleurs
sin u = 2 sin
u
2
cos
u
2
= −2s
1 − s 2 et cos u = 2 cos
2 u
2
− 1 = 2s
2
− 1 d’où
x(t) = (1 − s
2 )
s
2
−
1
2
et y(t) = −s(1 − s
2 )
3/2 .
Exercice 11.18
Montrer que les deux arcs suivants ont même longueur :
C 1 paramétré par x(t) = 2 cos t, y(t) = sin t, pour t ∈
0, p/2
C 2 paramétré en coordonnées polaires par r(u) = sin 2u, pour u ∈
0, p/2
.
Pour C 1 , on a x
(t) = −2 sin t et y(t) = cos t, donc x
(t)
2 + y
(t)
2 = 4 sin
2 t + cos
2 t,
et l’arc a pour longueur 1 =
p/2
0
4 sin
2 t + cos 2 t dt .
Pour C 2 , on a r
(u) = 2 cos 2u, donc r(u)
2 + r
(u)
2 = 4 cos
2 2u + sin
2 2u, et l’arc a
pour longueur 2 =
p/2
0
4 cos 2 2u + sin
2 2u du .
Pour transformer cette dernière intégrale on effectue le changement de variable
u = 2u. Alors 2 =
1
2
p
0
4 cos 2 u + sin
2 u du .
Comme la fonction intégrée est de période p et paire, on a encore
2 =
1
2
p/2
−p/2
4 cos 2 u + sin
2 u du =
p/2
0
4 cos 2 u + sin
2 u du .
On a donc bien trouvé que 1 = 2 .
Exercice 11.19
Soit k une entier supérieur ou égal à 3. Calculer la longueur de l’épicycloïde à k rebroussements paramétrée par x(t) = (k + 1) cos t − cos(k + 1)t,
y(t) = (k + 1) sin t − sin(k + 1)t lorsque t ∈ [ 0, 2p ] .