11.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation
11.1.6 Abscisse curviligne - Longueur d’un arc de courbe
Ce qu’il faut savoir
Dans ce paragraphe l’arc paramétré f prend ses valeurs dans un espace vectoriel
euclidien F (en général R
2 ou R
3 ).
Soit f un arc paramétré orienté de classe C
k défini sur I .
• Une abscisse curviligne est une fonction s de classe C
k sur I telle que, pour
tout t ∈ I , on ait s
(t) =
− − →
O M
(t). Si s(I ) = J , alors, s est un paramétrage
admissible de l’arc f qui définit la même orientation que celle de f .
Par abus de notation on notera s le paramètre de l’arc f ◦ s
−1 .
• Lorsque I = [ a, b ] , la longueur du chemin parcouru sur C lorsque t décrit I
est donnée par l’intégrale I =
b
a
s
(t) dt .
Lorsque I n’est pas un segment, l’intégrale généralisée définissant I peut être
infinie.
On a donc s(t) =
t
a
− − →
O M
(t) dt + K , où K est une constante.
En coordonnées polaires on a
− − →
O M
(u) =
r(u) 2 + r (u) 2 , et pour une courbe
d’équation y = h(x), on a
− − →
O M
(x) =
1 + h (x) 2 .
• L’arc f ◦ s
−1 est appelé représentation normale de l’arc f .
Déterminer un paramétrage par l’abscisse curviligne revient donc à faire deux
opérations successives : calculer une intégrale, puis trouver une application réciproque.
Exercice 11.16
Trouver un paramétrage par l’abscisse curviligne de la courbe d’équation
y = x
3/2 pour x 0.
On a
− − →
O M
(x) = ı +
3
2
x
1/2 j, donc
− − →
O M
(x) =
1 +
9
4
x .
Pour x 0, posons s =
x
0
1 +
9
4
t dt. Une primitive de x →
1 +
9
4
x est
x →
8
27
1 +
9
4
x
3/2
=
x +
4
9
3/2
donc s =
x +
4
9
3/2
−
8
27
. On en déduit
x =
s +
8
27
2/3
−
4
9
et y =
s +
8
27
2/3
−
4
9
3/2
, pour s 0.
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