• En un point régulier, on appelle vecteur tangent, le vecteur
→
T (t) =
− − →
O M
(t)
− − →
O M (t)
,
et vecteur normal le vecteur
→
N (t) tel que la base (
→
T (t),
→
N (t)) soit orthonormale directe. Le repère (M(t),
→
T (t),
→
N (t)) est appelé repère de Frenet au point
M(t). Le vecteur
→
T (t) (ou le vecteur
− − →
O M
(t)) définit une demi-droite, appelée la
demi-tangente à la courbe en M(t).
• Si f est un arc régulier de classe C
k sur I avec k 2, alors il existe une fonction
a de classe C
k−1 sur I , appelée fonction angulaire, telle que, pour tout t ∈ I , on
ait
→
T (t) = cos a(t) ı + sin a(t) j , et donc
→
N (t) = − sin a(t) ı + cos a(t) j .
Exercice 11.14
Soit la courbe paramétrée par x(t) = sin t et y(t) =
sin t
2 + cos t
. L’origine O est un
point double de cette courbe. Déterminer le repère de Frenet pour les valeurs de
t telles que M(t) = O.
Les fonctions x et y sont de période 2p et l’origine est obtenue pour t = 0 et t = p
(modulo 2p).
On a x
(t) = cos t et y
(t) =
2 cos t + 1
(2 + cos t) 2 .
• Pour t = 0, on obtient x
(0) = 1 et y
(0) = 1/3, donc
− − →
O M(0) =
√
10
3
. Alors
→
T (0) =
1
√
10
(3 ı + j) et
→
N (0) =
1
√
10
(− ı + 3 j).
• Pour t = p, on obtient x
(p) = −1 et y
(p) = −1, donc
− − →
O M(p) =
√
2. Alors
→
T (p) = −
1
√
2
( ı + j) et
→
N (p) =
1
√
2
( ı − j).
Exercice 11.15
Soit la courbe d’équation polaire r = sin
2 u . Déterminer le repère de Frenet au
point d’angle u = p/4.
On a x(u) = cos u sin
2 u et y(u) = sin
3 u, donc x
(u) = − sin
3 u + 2 sin u cos
2 u et
y
(u) = 3 sin
2 u cos u.
On obtient donc x(p/4) = y(p/4) =
1
2
√
2
, x
(p/4) =
1
2
√
2
et y
(p/4) =
3
2
√
2
,
donc
− −− →
O M
(p/4) =
√
5
2
. Alors
→
T (p/4) =
1
√
10
( ı + 3 j) et
→
N (p/4) =
1
√
10
(−3 ı + j) .