On va utiliser la formule (2). On linéarise facilement x(t)y
(t) :
x(t)y
(t) = cos
2 t cos 2t =
1 + cos 2t
2
cos 2t =
cos 2t
2
+
1 + cos 4t
4
,
En raison des symétries, on a pour les boucles du haut et du bas
A 1 = 2
p/2
p/4
x(t)y
(t)dt
=
sin 4t
8
+
sin 2t
2
+
t
2
p/2
p/4
=
1
2
−
p
8
.
De même pour la boucle centrale
A 2 = 4
p/4
0
x(t)y
(t)dt
=
sin 4t
4
+ sin 2t + t
p/4
0
= 1 +
p
4
.
L’aire totale est donc A = 2A 1 + A 2 = 2.
Remarquons que cette aire n’est pas
p
−p
x(t)y
(t)dt
qui vaut p/2.
Exercice 11.13
Trouver l’aire limitée par la cardioïde définie en coordonnées polaires par
r(t) = cos u + 1
En utilisant la formule (4), on a
r(u)
2 = 1 + 2 cos u + cos
2 u =
3
2
+ 2 cos u +
cos 2u
2
,
et comme la courbe est obtenue une fois et une seule lorsque u décrit [ −p, p ] , on
obtient
A =
1
2
p
−p
3
2
+ 2 cos u +
cos 2u
2
du
=
1
2
3u
2
+ 2 sin u +
sin 2u
4
p
−p
=
3p
2
.
11.1.5 Repère de Frenet
Ce qu’il faut savoir
Soit f un arc paramétré de classe C
k .
• Soit k 1 et t ∈ I . Le point M(t) est régulier lorsque
− − →
O M
(t) = 0. L’arc est
régulier lorsque tous ses points le sont.
• Soit k 2 et t ∈ I . Le point M(t) est birégulier lorsque, d’une part
− − →
O M
(t) = 0 et d’autre part
− − →
O M
(t) et
− − →
O M
(t) ne sont pas colinéaires. L’arc est
birégulier lorsque tous ses points le sont.
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